前回は $c_0P_0+c_1P_1+P_2$ により動径微分を近似しました。今回は近似に用いるパラメタの数を $2$ 個から $3$ 個へ増やしてみます。

$c_0P_0+c_1P_1+c_2P_2+P_5$ を書きます。

\begin{align} \{c_0+c_1(r^2\Delta)+c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=\langle c_0+c_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-c_2(X\partial)+(X\partial)^2\rangle_k \end{align}

これをコーシーの不等式で評価して最小二乗法により小さく見積もります。以上によりパラメタを増やした近似ができます。ただし、近似される関数は $(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$ ではなく $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という塊ですので注意してください。

前回と同様に

\begin{align} \{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=-\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k \end{align}

と仮定して話を進めます。まずは $P_0,\dots,P_7$ の中で動径微分を使っている個所を $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という形に変形していきましょう。

\begin{align} &P_{11}:c_2P_2+P_5,\\ &P_{12}:c_2P_4+P_6,\\ &P_{13}:(c_0-c_2^2)P_2+c_1P_4+P_7 \end{align}

環状項が出てくる式を連立させて $\psi,\partial_r\psi$ を分離します。

\begin{align} &P_{14}:P_3-P_{12},\\ &P_{15}:(c_1+1)\mu_2P_3+(\mu_2+\mu_3)P_{13} \end{align}

この $2$ 式を用いて、環状項が消えない式から環状項を消去して剰余項を生成します。例えば

\begin{align} P_{16}:(c_2-2)P_{13}+(c_1+1)P_{14} \end{align}

今まで何度もやっている通り剰余項の級数を作って $\psi,\partial_r\psi$ を近似すれば目的が達成できます。

今回はここまで。デコンボリューション前半の話は終わりにして、次回からは後半の話題、すなわち $\psi\mapsto f$ をやっていきたいと思います。まずは準備としてヒルベルト変換の話をしましょう。(written by J.Nishigata)

研究25- 動径微分の近似精度改善