前回場合分けをした i),ii) の場合を考えます。まず、$bk(1)\neq 0$ の場合から。

\begin{align} (2+r\partial_r)a\langle 1\rangle_k=bk(1)\psi-\langle X\partial b\rangle_k \end{align}

を $bk(1)$ で割って

\begin{align} a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_1=\dfrac{(2+r\partial_r)a}{bk(1)},\ b_1=-\dfrac{X\partial b}{bk(1)} \end{align}

を得ます。この導関数を計算すると

\begin{align} (2+r\partial_r)a_1\langle 1\rangle_k=2\psi+r\partial_r\psi+b_1k(1)\psi-\langle X\partial b_1\rangle_k \end{align}

ここから $\{2+b_1k(1)\}a_1\langle 1\rangle_k$ を引けば

\begin{align} a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k,\ a_2=(2+r\partial_r)a_1\langle 1\rangle_k-\{2+b_1k(1)\}a_1\langle 1\rangle_k,\ b_2=-X\partial b_1-\{2+b_1k(1)\}b_1 \end{align}

が得られます。環状項が消えない場合は

\begin{align} &a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\\ &a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k \end{align}

と連立させることによって環状項を消去して、剰余項を生成する式を作ります。続いて $bk(1)=0,\partial bk(1)\neq 0$ の場合。

\begin{align} r^2\Delta a\langle 1\rangle_k=-\partial bk(1)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)b\rangle_k \end{align}

を $-\partial bk(1)$ で割って

\begin{align} a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_1=-\dfrac{r^2\Delta a}{\partial bk(1)},\ b_1=-\dfrac{(X^{-1}\partial+\partial^2)b}{\partial bk(1)} \end{align}

後は i) の場合と同様です。以上により、剰余項を生成する演算子の集合 $G$ は、更に大きくとることができます。なお、$a_1,a_2$ の方程式を得る方法は、ここに示した方法以外でも $\psi,\partial_r\psi$ の連立方程式として導いても良いでしょう。

今回はここまで。次回は iii) の場合をやります。(written by J.Nishigata)

研究17- 環状項が消えない場合の剰余項の生成方法