前回は $2$ 階の導関数を計算しましたが、$\theta$ に関する積分が $\psi$ の形になってくれないと、今のデコンボリューションの方針には整合しません。

\begin{align} \Delta g&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta-\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\ &=\dfrac{k(1)}{r}\partial_r\psi(r,y)-\dfrac{\partial k(1)}{r^2}\psi(r,y)+\dfrac{1}{r^2}\int_0^1(\partial k+X\partial^2 k)\psi(rX,y)\,dX \end{align}

このようにラプラシアンを計算すると成功します。畳込みのラプラシアンを計算すると、外微分の剰余項 $(\partial k+X\partial^2 k)\psi$ が出てきます。この対応関係をもう少し一般化しておきましょう。

微分作用素 $D$ に対して

\begin{align} \langle D\rangle_k=\int_0^1XDk(X)\psi(rX,y)\,dX \end{align}

と表記することにします。$\langle D\rangle_k$ のラプラシアンを計算してみましょう。ラプラシアンの極座標表示を用いれば

\begin{align} \Delta_y\psi(rX,y)&=\int_0^{2\pi}\Delta f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg(\dfrac{\partial_X^2}{r^2}+\dfrac{\partial_X}{r^2X}\bigg)f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\\ &=\bigg(\dfrac{\partial_X^2}{r^2}+\dfrac{\partial_X}{r^2X}\bigg)\psi(rX,y) \end{align}

であることに注意して

\begin{align} r^2\Delta\langle D\rangle_k&=\int_0^1Dk(X)(X\partial_X^2+\partial_X)\psi(rX,y)\,dX\\ &=[XDk(X)\partial_X\psi(rX,y)]_0^1-\int_0^1\partial (XD)k(X)\partial_X\psi(rX,y)\,dX\\ &\quad+[Dk(X)\psi(rX,y)]_0^1-\int_0^1\partial Dk(X)\psi(rX,y)\,dX\\ &=[XDk(X)\partial_X\psi(rX,y)]_0^1-[\partial (XD)k(X)\psi(rX,y)]_0^1+[Dk(X)\psi(rX,y)]_0^1\\ &\quad+\int_0^1\{\partial^2(XD)k(X)-\partial Dk(X)\}\psi(rX,y)\,dX\\ &=rDk(1)\partial_r\psi(r,y)-\partial Dk(1)\psi(r,y)+\int_0^1(\partial D+X\partial^2D)k(X)\psi(rX,y)\,dX\\ &=rDk(1)\partial_r\psi(r,y)-\partial Dk(1)\psi(r,y)+\langle X^{-1}\partial D+\partial^2D\rangle_k \end{align}

さて、ラプラシアンの計算はできましたが、$\psi$ を求めるためには $\partial_r\psi$ の項と剰余項が邪魔になっています。デコンボリューションの不良設定性を考慮すれば PSF には $r$ に関する自由度も与えるべきであり、更に $\psi\mapsto f$ の不良設定性も考慮すれば $g$ から $\psi$ だけでなく $\partial_r\psi$ も計算できるようにすべきです。

次回は、畳込みの動径微分を計算します。(written by J.Nishigata)

研究12- 畳込みのラプラシアン