前回、ヘルムホルツ方程式の分離解の導出過程でベッセル方程式が登場しました。

\begin{align} x^2\partial^2f+x\partial f+(x^2-\alpha^2)f=0 \end{align}

何やら難しそうな式ですが、$\alpha^2$ が f の前に出てきているので、大体見当がつきます。

\begin{align} &f(x)=x^{\alpha}\Longrightarrow x^2\partial^2f+x\partial f+(x^2-\alpha^2)f=x^{\alpha+2},\\ &f(x)=x^{\alpha+2}\Longrightarrow x^2\partial^2f+x\partial f+(x^2-\alpha^2)f=4(\alpha+1)x^{\alpha+2}+x^{\alpha+4},\\ &f(x)=x^{\alpha+4}\Longrightarrow \cdots \end{align}

右辺の低い次数が順に消去されていくように方程式列の線形結合を計算すれば

\begin{align} f_{\alpha}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\alpha+1)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+\alpha} \end{align}

が解に成りそうですね。解であると言い切ってしまわないのは、収束性未確認のためです。これは次回やることにして、ここでは解であるという体で話を進めます。

ベッセル方程式は 2 階の常微分方程式ですので、特殊解はもうひとつ存在します。$\alpha$ の部分を $-\alpha$ に置き換えたらどうでしょうか。

$\alpha$ が非整数であればこのロジックは通ります。しかし、整数の場合には上手くいきません。零以下の整数でのガンマ関数の値は発散し

\begin{align} f_{-\alpha}(x)&=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!\Gamma(m-\alpha+1)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m-\alpha}\\ &=\sum_{m=\alpha}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!\Gamma(m-\alpha+1)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m-\alpha}\\ &=(-1)^{\alpha}f_{\alpha}(x) \end{align}

となってしまいます。

\begin{align} f_{\alpha+\varepsilon}(x)-(-1)^{\alpha}f_{-\alpha-\varepsilon}(x) \end{align}

が $\varepsilon\to 0$ の極限で消えてしまうことが問題なので、消えないように $\varepsilon$ で割ってみましょう。分りやすくするために $\alpha=1$ の例で計算してみます。

\begin{align} g_{\varepsilon}(x)&=\dfrac{f_{1+\varepsilon}(x)+f_{-1-\varepsilon}(x)}{\varepsilon}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{\varepsilon m!\Gamma(m+2+\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+1+\varepsilon}+\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{\varepsilon m!\Gamma(m-\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m-1-\varepsilon}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{\varepsilon m!\Gamma(m+2+\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+1+\varepsilon}+\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m+1}}{\varepsilon (m+1)!\Gamma(m+1-\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m-1-\varepsilon}+\dfrac{1}{\varepsilon\Gamma(-\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{-1-\varepsilon}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{\varepsilon m!}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+1}\bigg\{\dfrac{1}{\Gamma(m+2+\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{\varepsilon}-\dfrac{m+1-\varepsilon}{(m+1)\Gamma(m+2-\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{-\varepsilon}\bigg\}+\dfrac{-1}{\Gamma(1-\varepsilon)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{-1-\varepsilon} \end{align}

確かに残ることが分りますね。こうして求めた $g_{\varepsilon}$ をベッセル方程式へ代入すると

\begin{align} x^2\partial^2g_{\varepsilon}+x\partial g_{\varepsilon}+(x^2-1)g_{\varepsilon}&=\varepsilon(\varepsilon+2)g_{\varepsilon}\\ &\to 0\ \text{as }\varepsilon\to 0 \end{align}

確かに特殊解であることが分ります。$g_{\varepsilon}$ を求めた式を見直すと、$x=0$ で発散特異点をもつことがわかりますので、これは最初に求めた特殊解とは独立な解になっています。以上でベッセル方程式が解けましたね。いろんな関数を定義しましたが、一般的には以下のような定義が使われます。

\begin{align} &J_{\alpha}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\alpha+1)}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+\alpha},\\ &N_{\alpha}(x)=\dfrac{J_{\alpha}(x)\cos(\pi\alpha)-J_{-\alpha}(x)}{\sin(\pi\alpha)} \end{align}

前者をベッセル関数、後者をノイマン関数と呼びます。次回は級数の収束判定のお話です。(written by J.Nishigata)

フーリエ5- ベッセル方程式に挑戦