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前回求めた $a+re_1$ を $\|a+re_1\|=X$ に代入します。

\begin{align}
\bigg\{(t-t_0)-\dfrac{\chi(t_0)^2}{6}(t-t_0)^3\bigg\}^2+\bigg\{m+\dfrac{\chi(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial\chi(t_0)}{6}(t-t_0)^3\bigg\}^2+o((t-t_0)^3)=X^2
\end{align}

これを $t$ に関して解けば $t^{\pm}$ が求まります。以下 $(t_0)$ は省略して書きますので誤解を生じないよう。$t-t_0=\alpha (X-m)^{\beta}+o((X-m)^{\beta})$ とおいて代入すると左辺は

\begin{align}
m^2+(1+m\chi)(t-t_0)^2+o((t-t_0)^2)=m^2+(1+m\chi)\alpha^2(X-m)^{2\beta}+o((X-m)^{2\beta})
\end{align}

一方右辺は

\begin{align}
X^2=m^2+2m(X-m)+(X-m)^2
\end{align}

両辺を比較して

\begin{align}
\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}},\beta=\dfrac{1}{2}
\end{align}

以上で $t^{\pm}-t_0$ の最小次数の項が決定しました。続いて $2$ 番目に小さい次数の項を決めていきましょう。

\begin{align}
t-t_0=\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{1/2}+\gamma(X-m)^{\delta}+o((X-m)^{\delta})
\end{align}

とおいて同様に $\|a+re_1\|=X$ の両辺を比較します。$\delta+1/2 < 3/2$ と仮定すると左辺は

\begin{align}
m^2+2m(X-m)\pm 2\gamma\sqrt{2m(1+m\chi)}(X-m)^{\delta+1/2}+o((X-m)^{\delta+1/2})
\end{align}

ですが、一方右辺は $m^2+2m(X-m)+(X-m)^2$ なので次数が合いません。背理法より $\delta+1/2 \ge 3/2$ であることが分かりました。では $\delta+1/2 > 3/2$ と仮定するとどうなるでしょうか。左辺は

\begin{align}
m^2+2m(X-m)\pm\dfrac{m\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{2m}{1+m\chi}\bigg)^{3/2}(X-m)^{3/2}+o((X-m)^{3/2})
\end{align}

$\partial\chi$ で分類できますね。$\partial\chi\neq 0$ の場合は次数が整合しないので背理法から $\delta+1/2\le 3/2$ すなわち $\delta=1$ が得られます。

\begin{align}
m^2+2m(X-m)\pm \bigg\{2\gamma\sqrt{2m(1+m\chi)}+\dfrac{m\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{2m}{1+m\chi}\bigg)^{3/2}\bigg\}(X-m)^{3/2}+o((X-m)^{3/2})
\end{align}

$3/2$ 次の係数が零になるように $\gamma$ を決めれば良いです。中途半端ですが今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究138- 積分核の端点近傍の様子その２

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前回飛ばしていた $\partial\chi=0$ の場合を考えて見ましょう。$\partial\chi=0$ のとき、係数比較の式で $(t-t_0)^3$ の項は消えます。したがって $(t-t_0)^2,(t-t_0)^4$ の項からどのような $(X-m)$ の無限小が出てくるのかを考えれば良いです。


$\delta+1/2 < 2$ の場合は $(X-m)^{\delta+1/2}$ の項が出てきてしまい両辺の次数が合いません。したがって $\delta\ge 3/2$ が得られます。あとは $a^{\pm}$ を積分核へ代入すれば前回と同様の評価が成立します。確認してみてください。


今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究139- 積分核の端点近傍の様子その３