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前回求めた式は見方を変えると、$\psi$ の積分変換と考えることができます。このときの積分核は

\begin{align}
&k_1(X,r)=\langle p,\partial a^+\rangle-\langle p,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M,\\
&k_2(X,r)=\langle a^+,\partial a^+\rangle-\langle a^-,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M
\end{align}

です。端点 $X=m,M$ の近傍で $k_1,k_2$ がどのようなオーダーで振舞うか調べてみましょう。$t_0=\lim_{X\to m}t^+$ 近傍で $a$ を級数展開すると

\begin{align}
a=a(t_0)+\partial a(t_0)(t-t_0)+\dfrac{\partial^2a(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial^3a(t_0)}{6}(t-t_0)^3+o((t-t_0)^3)
\end{align}

これを $\partial a(t_0),\nu(t_0)$ が張る直交系に分解してみます。まず $a(t_0)$ から分解しましょう。$a(t_0)+re_1$ で半径 $m$ の円と $\Omega$ は接するので

\begin{align}
a(t_0)+re_1=-m\nu(t_0)
\end{align}

が成立します。続いて $\partial^2 a(t_0)$ を分解します。$\|\partial a\|=1$ を微分すると $\langle \partial a,\partial^2a\rangle=0$ が得られます。したがって $\partial^2a$ は $\nu$ 成分のみをもちますが $-\langle\nu,\partial^2a\rangle$ は曲率なので

\begin{align}
\partial^2a=-\chi\nu
\end{align}

が得られます。最後に $\partial^3 a$ ですね。上の式を微分してみましょう。

\begin{align}
\partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi\partial\nu
\end{align}

$\partial\nu$ を分解すれば良いですね。$\|\nu\|=1$ を微分して $\langle \nu,\partial\nu\rangle=0$。$\langle\partial a,\nu\rangle=0$ を微分すると $-\chi+\langle\partial a,\partial\nu\rangle=0$。以上より $\partial\nu=\chi\partial a$ が得られます。したがって

\begin{align}
\partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi^2\partial a
\end{align}

以上で $a$ の直交分解ができます。

\begin{align}
a+re_1=\bigg\{(t-t_0)-\dfrac{\chi(t_0)^2}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\partial a(t_0)-\bigg\{m+\dfrac{\chi(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial\chi(t_0)}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\nu(t_0)+o((t-t_0)^3)
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究137- 積分核の端点近傍の様子その１

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前回 $\partial\chi=0$ の場合をやり残していますが、一旦 $\partial\chi\neq 0$ として話を進めましょう。現時点で分かっていることは

\begin{align}
t-t_0=\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2(X-m)+o(X-m)
\end{align}

という展開式です。これを $a$ の展開式に代入すれば、$a^{\pm}$ の展開式を得ることができます。

\begin{align}
a=a(t_0)+\bigg\{\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2(X-m)\bigg\}\partial a-\dfrac{m\chi}{1+m\chi}(X-m)\nu+o(X-m)
\end{align}

さらに導関数を計算すると

\begin{align}
\partial a=\bigg\{\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{-1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2\bigg\}\partial a-\dfrac{m\chi}{1+m\chi}\nu+o(1)
\end{align}

これで積分核の $X=m$ 近傍での振る舞いが分かりますね。$\partial a(t_0)$ に直交しないような $p$ に対して

\begin{align}
&k_1= \sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi(t_0)}}\langle p,\partial a(t_0)\rangle(X-m)^{-1/2}+o(1),\\
&k_2= \sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi(t_0)}}\langle a(t_0),\partial a(t_0)\rangle(X-m)^{-1/2}+c_2(X-m)^{1/2}+o((X-m)^{1/2})
\end{align}

$k_1$ の無限小の項が $o(1)$ となっていますが、少し考えれば $c_1(X-m)^{1/2}+o((X-m)^{1/2})$ と書き換えられることが分かりますね。$X=M$ の近傍でも同様に近似計算をすると

\begin{align}
&k_1= \sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi(t_1)}}\langle p,\partial a(t_1)\rangle(M-X)^{-1/2}+c_3(M-X)^{1/2}+o((M-X)^{1/2}),\\
&k_2= \sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi(t_1)}}\langle a(t_1),\partial a(t_1)\rangle(M-X)^{-1/2}+c_4(M-X)^{1/2}+o((M-X)^{1/2})
\end{align}

が得られます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究138- 積分核の端点近傍の様子その２