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以前、円板定義関数が定義するポンペイユ変換は単射ではないということと正方形の定義関数が定義するポンペイユ変換は単射であり反転公式を求めることをやりましたね。円板ではない図形が定義するポンペイユ変換は必ず単射であるという主張が $2$ 次元でのポンペイユの逆問題でした。


畳込みの公式を使えばポンペイユの逆問題を次のような同値の問題に変形することができます。「円板ではない図形の定義関数のフーリエ像は原点を中心とする円周を零点にもたない。」


このように問題を書き換えてから議論する論文をしばしば目にしますが、折角ヒルベルト変換を応用した方法を構築したのだから、環状項を経由して考えていきたいものです。


次回は、$2$ 次元の滑らかな狭義凸体に限定してポンペイユ変換を考えていきましょう。(written by J.Nishigata)


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研究127- ポンペイユの逆問題と同値な問題

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$\partial\Omega$ 上の任意の点 $x_1$ での法線ベクトル $\nu(x_1)$に対して、或る $x_2\in\partial\Omega$ が存在して $\nu(x_1)+\nu(x_2)=0$ となります。このような $(x_1,x_2)$ の組全体を集合 $A$ とおきます。以下の命題の内、少なくとも一方が成立することと $\Omega$ が円ではないことは同値でしょうか。


i). 或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1-x_2\neq\|x_1-x_2\|\nu(x_1)$ が成立する。
ii). $\Omega$ は定幅であり、かつ或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ での曲率と $x_2$ での曲率は等しくない。


$\Omega$ が円ならば i),ii) は共に成立しないので、対偶となる順方向の命題は明らかに成立しますね。問題は逆方向の命題です。円ではないときに i),ii) の少なくとも一方と言っているので、i) が成立しないと仮定したときに ii) が成立すれば良いです。


証明すべきことは、


a). $\Omega$ が円ではなく i) が成立しないならば $\Omega$ は定幅である。
b). $\Omega$ が円ではなく i) が成立しないならば或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ での曲率と $x_2$ での曲率は等しくない。


まず、a) から解いていきましょう。では次回。(written by J.Nishigata)


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研究128- 定幅な凸体の面積評価