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一般的な画像には理論実験とは異なりスペクトル全体に渡り擬ホワイトノイズが発生しています。したがって、弱値として観測できているものは、STFT不確定性とノイズの混在したものとなっています。


このようなデータ解析は非常に困難です。少なくともスペクトル空間上で議論をしてしまうと、不可能に思われるでしょう。


我々のデコンボリューション(WVR法)が、どのような仕組みでこの問題を解消しているかもう一度考えてみましょう。


コスト関数の最小値問題、ヒルベルト変換を通してノイズの問題を解消しているポイントはありません。問題解消のポイントは、ヒルベルト変換の径方向へ積分平均するタイミングです。


或る径でスライスをとったときの画像には、ノイズ問題を解消するようなピクセル値の偏差はありません。しかし、偏差をとる方向を空間方向ではなくヒルベルト変換の径方向へ変えると面白いことが起きます。


ノイズ成分の偏差は変わらずである一方、シグナル成分は正解のシグナル値に向かって偏差します。簡単に説明すると、軸をとる向きによってノイズが減少するということですね。


これによって我々のデコンボリューションはノイズの問題を回避しています。一旦デコンボリューションの話題はこの辺りで中断して、次回から数学の話題(ポンペイユの逆問題)をやっていきます。(written by J.Nishigata)


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研究126- ノイズに埋もれたシグナルの抽出

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$\Omega$ を定幅 $c$ としましょう。定幅ということはすなわち、どのような向きに影をとったとしても影の長さは $c$ となります。


影の測度のことを外測と呼びます。外測から $\Omega$ の周の長さを測ってみましょう。


$p\in S^1$ 方向に光を当てて影を作るとき、光の当たっている $\partial\Omega$ 上の点 $x$ から影へおろした垂線は、$x$ と影上の点を $1$ 対 $1$ に対応させます。この対応によって $x$ での $\partial\Omega$ の線素 $ds$ はどのような影になるでしょうか。


$x$ での $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトルを $\nu$ とすると、$-\langle p,\nu\rangle\,ds$ が影の測度ですね。


ここで $\langle p,\nu\rangle\le 0$ の範囲で $p$ の向きを変化させて積分してみます。

\begin{align}
\bigg(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\bigg)\,ds=2\,ds
\end{align}

これは影を一周積分したときに、線素 $ds$ が作り出す影の総和となっています。したがって上の式を $\partial\Omega$ 全体で積分したものは影の一周積分値 $2\pi c$ に等しくなります。

\begin{align}
2|\partial\Omega|=2\pi c
\end{align}

$\Omega$ の周の長さを外測で測ることができました。続いて $\Omega$ の面積を周長で評価します。

\begin{align}
4\pi|\Omega|\le |\partial\Omega|^2
\end{align}

この不等式は等周不等式と呼ばれるもので、等号の成立は $\Omega$ が円の場合に限ります。証明は検索すれば山ほど出てくるのでここでは割愛しますが、この不等式を使うと

\begin{align}
|\Omega|\le \dfrac{\pi c^2}{4}
\end{align}

という評価が成り立ちます。自明ですが、等号成立は $\Omega$ が円の場合に限りますね。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究127- ポンペイユの逆問題と同値な問題