MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






画像の評価方法には「直接的評価」と「間接的評価」に2種類が存在します。前者は文字通り、正解画像と直接比較することによる評価方法ですが、一般的に正解画像を準備できる実験は限られてしまいます。


今回のNASAのオープンデータも、デコンボリューションの正解画像は存在しません。このような場合、間接的に評価しなければなりません。


恐らく真っ先に思い浮かぶであろう間接的評価方法は、スペクトルによる評価でしょう。しかし、分解能改善という物理学的な命題に対してスペクトル評価(遮断周波数を超える高周波の発生)は必要条件に過ぎませんので、今回は使えません。スペクトル評価は、分解能の改善が確認されて初めて「発生した高周波成分に物理学的な意味がある」と結論付けられるものです。


今回採用する間接的評価方法は、畳込みモデルを使うというものです。デコンボリューション画像を適当な光学PSFで畳込めば入力画像に等しくなるはずです。このPSF径と入力画像の分解能が分かれば、畳込みモデルに従ってデコンボリューション画像の分解能を計算することができます。


入力画像の分解能をスペクトルから算出してみましょう。矩形窓の影響を緩和させるためにハニング窓を掛けてからパワースペクトルを計算してみます。

研究114- NASAのオープンデータで、遮断周波数を超える分解能の改善に成功!～その２

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






規格化された関数 $a,b$ に対して $c=a\ast b$ とおきます。

\begin{align}
\int c(y)\,dy&=\iint a(x)b(y-x)\,dxdy\\
&=\int a(x)\,dx=1
\end{align}

より、関数 $c$ も規格化されていることがわかりますね。続いて位置の平均値に関して

\begin{align}
\int yc(y)\,dy&=\iint (y+x)a(x)b(y)\,dxdy\\
&=\iint ya(x)b(y)\,dxdy+\iint xa(x)b(y)\,dxdy=\int yb(y)\,dy+\int xa(x)\,dx
\end{align}

加法性 $x_c=x_a+x_b$ の成立が確認できます。では、分散に関してはどうなるでしょうか。

\begin{align}
\sigma_c^2&=\iint \|y+x-x_c\|^2a(x)b(y)\,dxdy\\
&=\iint (\|x\|^2+\|y\|^2+\|x_c\|^2+2\langle x,y\rangle-2\langle x+y,x_c\rangle)a(x)b(y)\,dxdy\\
&=\sigma_a^2+\|x_a\|^2+\sigma_b^2+\|x_b\|^2+\|x_c\|^2+2\langle x_a,x_b\rangle-2\langle x_a+x_b,x_c\rangle\\
&=\sigma_a^2+\sigma_b^2
\end{align}

分散に関しても加法性が成立します。この関係式を用いればデコンボリューション画像の分解能がわかりますね。実際に計算してみると7.4pxという結果になります。


さて、入力画像の分解能2.9pxは、画サイズを換算して23.2pxです。これがデコンボリューションによって7.4pxになったということは、3倍強改善していることになりますね。


ちなみに入力画像の遮断周波数から算出される分解能の画サイズ換算値19.2pxと比較しても、約2.6倍改善しています。今回はここまで。次回は分解能改善の必要条件であるスペクトルを見てみましょう。(written by J.Nishigata)


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研究115- NASAのオープンデータで、遮断周波数を超える分解能の改善に成功!～その３