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被写体 $f$ の台を有界にしておきます。遮断周波数 $a$ の PSF $k_1$ で結像した光学像は $k_1\ast f$ ですね。この光学像のスペクトル $\mathscr{F}k_1\mathscr{F}f$ には $a$ を超える高周波成分が含まれていない。これが遮断周波数の課題の主張でした。


光学像に観測窓 $w$ を掛けてみましょう。$w\cdot (k_1\ast f)$ のスペクトルは $\mathscr{F}w\ast(\mathscr{F}k_1\mathscr{F}f)$ ですが、窓関数によるブラー $\mathscr{F}w\ast$ が掛かっている影響で $a$ を超える高周波成分が消えているとは限りません。ただし、この高周波成分は光学像のスペクトルが拡散しているだけですので、被写体の高周波という意味はありません。ここまでは前回説明した非線形画像処理と同じような話ですね。


ここで PSF を $k_1$ から切り出した台有界な関数 $k_2$ に交換してみます。(このような PSF は物理学的には存在しないので思考実験として扱います。)$k_2$ の台を充分に広くとれば $2$ つの画像 $w\cdot (k_1\ast f),w\cdot (k_2\ast f)$ は一致します。


$w\cdot (k_2\ast f)$ のスペクトルの意味を考えてみましょう。まず、$k_2$ は台有界なので、そのスペクトル $\mathscr{F}k_2$ は台有界ではなくなります。したがって $k_2\ast f$ の $a$ を超える高周波成分は消えません。この高周波成分には当然ですが被写体の高周波という意味がありますね。$w\cdot (k_2\ast f)$ の $a$ を超えるスペクトルは被写体の高周波の影響も含まれます。


同一の画像であるにもかかわらず、PSF が $k_1$ であるか $k_2$ であるかによって遮断周波数を超える高周波成分の解釈が変わってしまう。以上が観測窓のパラドクスです。


このパラドクスの根本的な原因は観測窓を掛けたことです。少し考えれば、STFT の不確定性原理から、窓関数を掛けた後の高周波成分は不確定である、とするパラドクスの回避策が見つかりますね。


一見すると光学像での議論では「消えている」としていたものが、観測像での議論では「不確定」となっただけで、結局被写体の高周波成分は算出できないという結論は変わらないように思われます。(written by J.Nishigata)


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研究104- 観測窓のパラドクス

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  }
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以前定義したコスト関数を思い出しましょう。

\begin{align}
E=\dfrac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dz
\end{align}

領域 $\Omega$ の $r$-近傍の画素値をサンプリングしていますね。STFT 不確定性を反映させるためには、この領域 $\Omega$ の部分を変更します。

\begin{align}
E=\int_{\mathbb{R}^2}w(z-x)\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,x+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dx
\end{align}

修正されたコスト関数の極値問題から算出されるラプラシアンの冪級数の係数は空間依存性をもちます。したがって、デコンボリューションフィルタの形は

\begin{align}
\sum \{\alpha^i(x)A_i+\beta^i(x)B_i\}
\end{align}

となります。これを光学像に掛けてみましょう。

\begin{align}
\sum \{\alpha^i(x)(A_i\ast g)(x)+\beta^i(x)(B_i\ast g)(x)\}
\end{align}

このようなデコンボリューション像のスペクトルは、遮断周波数を超える領域でも消えることはありません。このデコンボリューション法を、Weak Value Restoration法(WVR法)と名付けておきます。さて、ここまでの話は物理学的な意味を完全に無視した、一見すると意味のなさそうなアルゴリズムですね。現在の光学の解釈では遮断周波数の問題は解決不可能ですので、このようなデコンボリューションに物理学的な意味を要求することはナンセンスなのかもしれません。


理論的に意味の解らない不可解なアルゴリズムであっても実験結果には意味があります。真に意味のないアルゴリズムであれば実験結果はデタラメなものになるでしょう。しかし見方を変えると、実験結果に物理学的な意味があるのであれば、そのアルゴリズムにも何かしら物理学的な意味があると推測できます。


ということで、次回は簡単な実験結果を紹介します。(written by J.Nishigata)


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研究105- 窓関数による STFT 不確定性の制御