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今回の内容は、デコンボリューションの課題通りの内容ではなく、白飛びしている画素値を正しくデコンボリューションするという内容です。今、上半平面 $x^2 > 0$ だけが白飛びしているとしましょう。この状況で境界 $x^2=0$ 近傍のデコンボリューションを考えてみましょう。


デコンボリューションに用いる FIR フィルタの半径を $r$ とします。$x^2\le -r$ の領域のデコンボリューションは、フィルタが正常な画素値の領域 $x^2\le 0$ に収まるため問題なく実行できます。


フィルタの $5$ 割未満が白飛び領域にはみ出してしまう $-r < x^2 \le 0$ の領域はどうなるでしょうか。このような領域では正常にフィルタリングできる部分はそのまま計算して白飛び領域でのフィルタリングは無視する、すなわち零埋めすればデコンボリューションは上手く実行されます。


さて、興味深いことはフィルタの何割が正常な画素値で計算できれば上手くいくのかということです。実は $x^2 < r$ まで、すなわちギリギリのところまでデコンボリューションの結果はしっかりと出ます。


この性質を使えば、例えば白飛び領域 $\Omega$ の任意の内点の $r$-近傍が $\Omega$ の補集合と交わるならば、デコンボリューションにより白飛び領域を解消することもできますね。


更にこの性質は、白飛び領域だけでなく観測窓の境界近傍にも利用することができます。画サイズよりも幅 $r$ 分だけ広く解像できるということは面白いですね。


なお、本来の課題であったアーチファクトに関しては、白飛び領域を含まないようにコスト関数の平均処理を実行してフィルタを算出して今回の方法とアーチファクトを平均化する方法を併用すれば解決できます。


今回はここまで。残る課題は、分解能の限界の課題だけになりました。この問題に挑む前に、やり残した問題を解決しておきます。(written by J.Nishigata)


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研究102- 白飛び画素値の解析

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被写体 $f$ の台を有界にしておきます。遮断周波数 $a$ の PSF $k_1$ で結像した光学像は $k_1\ast f$ ですね。この光学像のスペクトル $\mathscr{F}k_1\mathscr{F}f$ には $a$ を超える高周波成分が含まれていない。これが遮断周波数の課題の主張でした。


光学像に観測窓 $w$ を掛けてみましょう。$w\cdot (k_1\ast f)$ のスペクトルは $\mathscr{F}w\ast(\mathscr{F}k_1\mathscr{F}f)$ ですが、窓関数によるブラー $\mathscr{F}w\ast$ が掛かっている影響で $a$ を超える高周波成分が消えているとは限りません。ただし、この高周波成分は光学像のスペクトルが拡散しているだけですので、被写体の高周波という意味はありません。ここまでは前回説明した非線形画像処理と同じような話ですね。


ここで PSF を $k_1$ から切り出した台有界な関数 $k_2$ に交換してみます。(このような PSF は物理学的には存在しないので思考実験として扱います。)$k_2$ の台を充分に広くとれば $2$ つの画像 $w\cdot (k_1\ast f),w\cdot (k_2\ast f)$ は一致します。


$w\cdot (k_2\ast f)$ のスペクトルの意味を考えてみましょう。まず、$k_2$ は台有界なので、そのスペクトル $\mathscr{F}k_2$ は台有界ではなくなります。したがって $k_2\ast f$ の $a$ を超える高周波成分は消えません。この高周波成分には当然ですが被写体の高周波という意味がありますね。$w\cdot (k_2\ast f)$ の $a$ を超えるスペクトルは被写体の高周波の影響も含まれます。


同一の画像であるにもかかわらず、PSF が $k_1$ であるか $k_2$ であるかによって遮断周波数を超える高周波成分の解釈が変わってしまう。以上が観測窓のパラドクスです。


このパラドクスの根本的な原因は観測窓を掛けたことです。少し考えれば、STFT の不確定性原理から、窓関数を掛けた後の高周波成分は不確定である、とするパラドクスの回避策が見つかりますね。


一見すると光学像での議論では「消えている」としていたものが、観測像での議論では「不確定」となっただけで、結局被写体の高周波成分は算出できないという結論は変わらないように思われます。(written by J.Nishigata)


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研究103- PSF 径に関するブラインド-デコンボリューション