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係数 $\alpha,\beta$ を自由空間でとってしまうと、そもそも自明な解 $\alpha=0,\beta=0$ が出てきてしまい意味がありません。係数は原点を通らない何かしらの曲面に乗っているという制約を与える必要があります。


$\langle 1\rangle_k=1$ のような特別な場合を考えると $1$ 次以上のラプラシアンの項は全て消えるので零次の項 $\alpha^0\langle 1\rangle_k$ のみが残ります。このとき $\psi=2\pi$ ですので、$\alpha^0=2\pi$ とすればよいでしょう。この結果を一般の場合にも反映させましょう。すなわち $\alpha^0=2\pi$ という曲面を条件として追加します。以上が最も簡単な条件です。


もう少し考えてみましょう。円板定義関数を PSF とすれば $\beta^1=\pi$ になります。これを一般の場合に反映させてもよさそうです。先程の条件と組み合わせると、$\alpha^0=2\pi,\beta^1=\pi$ という曲面を条件として追加することになりますね。


$(\alpha^0,\beta^1)$ が円周上に存在するという条件でも面白そうですね。様々な曲面で試してみて、環状項の近似が上手くいくか実験してみると良いでしょう。(written by J.Nishigata)


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研究98- ラプラシアンの冪級数の係数が乗る曲面

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引き続き独自のブラインド-デコンボリューションの話をしていきます。コスト関数の極値問題から得られる係数を代入して $\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}$ が計算され、ヒルベルト変換により $\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ が計算されます。それぞれの演算は FIR で表現できるので、これらを畳込んで合成したフィルタも FIR になります。この最終的な FIR のフィルタサイズは、ラプラシアンの冪級数での膨張分とヒルベルト変換分の和、すなわち目視で決まる径 $r$ 強となります。


このサイズが要因となり、実像から $r$ 強の位置にアーチファクトが発生します。このアーチファクトは遮断周波数で発生するアーチファクトを回避するためにトレードオフで発生していると考えることができます。


このアーチファクトを消すためにはどのようにすれば良いでしょうか。


$r$ に関する平均処理ができれば、アーチファクト部分はブラーが掛かったように目立たなくなります。$r$ は冪級数の次数で変化させることができるので、幾つかの冪数に渡りデコンボリューション結果若しくはフィルタを平均処理すれば $r$ に関する平均処理が達成できます。


以前、冪数の上限は決まっていると説明しました。したがって、どのような冪数をサンプリングするか迷ってしまうかもしれません。概ねの傾向としては、冪数とデコンボリューションの効果には相関があると考えれば良いです。


このような説明をすると、アーチファクトは平均化され目立たなくなっても、トレードオフで分解能も悪くなるのではないかと心配されるかもしれません。しかし、或るレベル以上の冪数であれば、殆ど分解能に悪影響はないのでご安心ください。


以上により、分解能へのデコンボリューションの効果を維持した状態でアーチファクトのみを低下させることができます。不思議に思われるかもしれませんが、アーチファクトの総和という視点では変わっていないので不可解な話ではありません。


アーチファクトの平均をノイズレベルまで下げてしまえば、実用上遮断周波数で発生するアーチファクトは回避されたことになります。(written by J.Nishigata)


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研究99- PSF 径とブラインド-デコンボリューションから決まる径の違い