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今回は、$\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ の存在命題を考えます。このような $W$ が存在するためには

\begin{align}
\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle
\end{align}

が成立する必要性があります。確認してみましょう。

\begin{align}
\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle&=\partial_{qu_j}\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi\\
&=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\langle u_k,x\rangle\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi)(-\langle u_j,x\rangle(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_{u_j}) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

ですので

\begin{align}
\int_{\partial S_q}\langle u_j,x\rangle\partial_{u_k} f\omega^q
\end{align}

の $j,k$ が交換可能ならば $\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ が成立します。分り易いように $\partial S_q$ 上ではなく $S^{n-1}$ 上で考えましょう。

\begin{align}
\langle p_j,x\rangle\partial_{p_k}f\omega-\langle p_k,x\rangle\partial_{p_j}f\omega&=\sum_{l=1}^np_j^lx^l\sum_{m=1}^np_k^m\partial_mf\omega-\sum_{m=1}^np_k^mx^m\sum_{l=1}^np_j^l\partial_lf\omega\\
&=\sum_{l,m=1}^np_j^lp_k^m(x^l\partial_m-x_m\partial_l)f\omega
\end{align}

より $p_j=e_j,p_k=e_k$ の場合を確認すれば充分です。

\begin{align}
(x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega&=(-1)^{j+1}\partial_kf\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n-(-1)^{k+1}\partial_jf\,dx^1\wedge\cdots\hat{k}\cdots\wedge dx^n\\
&=d(f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n)
\end{align}

に注意すると

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}(x^j\partial_k-x_k\partial_j)f\omega=\int_{\partial S^{n-1}}f\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\hat{k}\cdots\wedge dx^n=0
\end{align}

これで交換可能であることが分かりました。さて、$\partial_{qu_j}\langle u_k,V\rangle=\partial_{qu_k}\langle u_j,V\rangle$ を使うと

\begin{align}
d(\langle V,dq\rangle)&=d\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\\
&=\sum_{j,k=1}^{n-1}\partial_{qu_k}\langle V,u_j\rangle\langle u_k,dq\rangle\wedge\langle u_j,dq\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,u_j\rangle\langle u_j,dq\rangle\langle q,dq\rangle\\
&=0
\end{align}

球面上の閉曲線上で $\langle V,dq\rangle$ を積分すると零になります。したがって $e_1,q$ を端点とする球面上の任意の曲線 $C$ に対して

\begin{align}
\int_C\langle V,dq\rangle
\end{align}

は経路 $C$ に依存しないことが分かります。これを $W$ とおきましょう。このとき

\begin{align}
\partial_{qu}W=\langle V,u\rangle
\end{align}

が成立します。今回はここまで。次回は漸化式の続きをやりましょう。(written by J.Nishigata)


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研究84- 球面の族に関する積分変換のポテンシャル

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結局 $2$ つ目の漸化式を使うことなく反転公式が構築できてしまいました。$2$ つ目の漸化式はどんなものであったのか復習すると

\begin{align}
\dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if+\partial_r\mathscr{V}_if=-\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

でしたね。今回は、別解を考えるという意味で、この漸化式の使い道を考えてみます。まず、両辺に $r^{n-2}$ を掛けてみましょう。

\begin{align}
(n-2)r^{n-3}\mathscr{V}_if+r^{n-2}\partial_r\mathscr{V}_if=-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

左辺は積分したら簡単になりますね。今までの議論では、変数 $r$ に関して、与えられた $r$ での導関数のみ許可されていたのですが、この条件を弱くすれば積分ができます。

\begin{align}
r_2^{n-2}\mathscr{V}_if(r_2,q,z)-r_1^{n-2}\mathscr{V}_if(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

$n > 2$ の場合は、存在するか否かは別問題として

\begin{align}
\mathscr{V}_if(\infty,q,z)=\int_{r_1}^{\infty}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

が極限で得られます。$f$ に課される条件が強すぎるため、面白くありません。$n=2$ の場合はどうでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{V}_2f(r_2,q,z)-\mathscr{V}_2f(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-\dfrac{1}{r}u\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2u\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr
\end{align}

$3$ つ目の漸化式も書くと

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\langle u,\partial_{qu}\mathscr{V}_2f\rangle=\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f
\end{align}

こちらも $q$ に関して積分して

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\{\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle-\langle e_2,\mathscr{V}_2f(r,e_1,z)\rangle\}=\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

以上の $2$ つの式を連立すれば

\begin{align}
\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle=P(z)+\int_{r_1}^{r}\bigg(-\dfrac{1}{r}\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr+r\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)-2\partial_q\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

ここに $P(z)=\langle R_{\pi/2}e_1,\mathscr{V}_2f(r_1,e_1,z)\rangle$ です。$\mathscr{V}_2f$ が $P(z)$ の不定性を除いて定まりました。後は $P(z)$ を求めるだけですが、これは簡単で $q$ に関して $1$ 周積分すれば良いです。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究85- 球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その２