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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
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前回、球面の族に関する積分変換の漸化式を作りましたが、$\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算するロジックが抜けていました。今回はこの部分の証明をやります。


$\mathscr{V}_if(r,q,z)$ を $q$ の関数として扱いましょう。$V(q)=\mathscr{V}_if(r,q,z)$ とおきます。

\begin{align}
d\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j}=-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega
\end{align}

であることに注意して $v\in S^{n-1}$ に対して

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j}
\end{align}

$v$ に直交する正規直交基底を $\{v_j\}$ とおくと右辺は

\begin{align}
-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j}
V^j\omega^{e_j}
\end{align}

となります。$\partial S_v$ 上では

\begin{align}
\langle v,dq\rangle\wedge\omega^{v_j}=(\langle v,q\rangle\langle v_j,q\rangle-\langle v,v_j\rangle)\omega=0
\end{align}

が成立するので

\begin{align}
-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j}
V^j\omega^{e_j}=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v
\end{align}

以上より

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v
\end{align}

が得られます。ここで $\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ が存在すると仮定しましょう。上の式は

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\partial_{qv}W\omega^v
\end{align}

と変形できます。この式に見覚えはありますね。右辺はファンク変換に球面ラプラシアンを掛けた式です。一方、左辺を $S_v$ 上ではなく $\partial S_v$ 上で積分した場合には

\begin{align}
\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega^v&=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial_{qu_j}\langle u_j,V\rangle\omega^v\\
&=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial^2_{qu_j}W\omega^v\\
&=\int_{\partial S_v}\Delta^SW\omega^v
\end{align}

となります。以上の $2$ つの式を連立すれば、ファンク-ヘッケの定理より $H^0$ 分の不定性を除いて $W$ を求めることができます。今回はここまで。次回は、$W$ の存在命題を考えます。(written by J.Nishigata)


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研究83- 球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その１

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前回の議論から $V$ のポテンシャル $W$ が存在し、前々回の議論から $H^0$ 成分を除いて $W$ は決定します。

\begin{align}
\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}W=\sum_{j=1}^{n-1}u_j\langle u_j,V\rangle=V
\end{align}

これで $V$ が計算できました。$3$ つ目の漸化式を用いれば $\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算できるということですね。


$2$ つ目の漸化式は使わずじまいでしたが、これは別途考えることにしましょう。


さて、漸化式を辿ると $\mathscr{V}_if,\mathscr{S}_if$ のインデックスは $2,4,6,\ldots$ のように偶数を辿ることが分かります。したがって、最終項の扱いは $n$ の偶奇により異なります。まずは奇数の場合から考えましょう。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_{n-1}f\mapsto\mathscr{V}_{n-1}f
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_{n-1}f,\mathscr{V}_{n-1}f$ ですね。$1$ つ目の漸化式は $i < n-1$ を条件に途中の計算を実行しましたが、$i=n-1$ の場合はどうなるのでしょうか。

\begin{align}
&\dfrac{1}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}\\
&\quad-\dfrac{r}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}+\mathscr{S}_{n-1}f(r,q,z)\\
&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\cos\varphi(\sin\varphi\partial_q-\cos\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\
&=-\bigg[\int_{\partial S_q}\cos\varphi f\omega^q\bigg]_0^{\pi}\\
&=\int_{\partial S_q}\{f(z)+f(2rq+z)\}\omega^q\\
&=\sigma_{n-2}\{f(z)+f(2rq+z)\}
\end{align}

非常にシンプルな式になりました。この式を

\begin{align}
2f(z)=\{f(z)+f(2rq+z)\}-\{f(z+2rq)+f(z+rq+\sqrt{3}ru)\}+\{f(z+rq+\sqrt{3}ru)+f(z)\}
\end{align}

の右辺に使えば $f(z)$ が求まります。以上で、$n$ が奇数の場合の $\mathscr{S}_2$ の反転公式が構築できました。


では、$n$ が偶数の場合はどうなるでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_nf\mapsto\mathscr{V}_nf
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_nf,\mathscr{V}_nf$ ですね。最初に注意していた通り、$\mathscr{V}_nf$ は変数 $\varphi$ に関して円周上のヒルベルト変換になっていますね。なお、$H^0$ 成分は $\mathscr{S}_nf$ から計算できます。これですべての場合の反転公式が完成しました。


今回はここまで。次回は、$2$ つ目の漸化式に関して少し考えてみましょう。(written by J.Nishigata)


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研究84- 球面の族に関する積分変換のポテンシャル