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前回の最後に得られた式は、$x_1$ に沿った $g$ の導関数に関する関係式です。では、$x_1$ に沿って $f$ を計算したらどうなるでしょうか。

\begin{align}
-\partial_{x_1}f(x_1)^2+\|\nabla f(x_1)\|^2=(\partial l_1^{-1})^2\|\partial x_1\|^2\|\{\partial_{x_1}f(x_1)\}x_1-\nabla f(x_1)\|^2
\end{align}

右辺にコーシーの不等式を使うと

\begin{align}
-\partial_{x_1}f(x_1)^2+\|\nabla f(x_1)\|^2\ge(\partial l_1^{-1})^2\langle \partial x_1,\nabla f(x_1)\rangle^2=\partial (fx_1l_1^{-1})^2
\end{align}

等号ではなく不等号の評価になりました。これを証明に使います。表記を簡単にするために

\begin{align}
&F=(fx_1l_1^{-1}),\ G=(gx_1l_1^{-1}),\\
&H=(hF)^2\{(\alpha F)^2+\partial F^2\}-(hG)^2\{(\alpha G)^2+\partial G^2\}
\end{align}

とします。前回の最後と今回の最初に示した式より

\begin{align}
&(\alpha Wf)^2\ge(hF)^2\{(\alpha F)^2+\partial F^2\},\\
&(\alpha Wg)^2=(hG)^2\{(\alpha G)^2+\partial G^2\}
\end{align}

したがって $H$ は上から

\begin{align}
H\le (\alpha Wf)^2-(\alpha Wg)^2=0
\end{align}

と評価できます。一方、下からはどのように評価できるでしょうか。

\begin{align}
H=(\alpha F(hF))^2-(\alpha G(hG))^2+((hF)^2-(hG)^2)\partial G^2+(hF)^2(\partial F^2-\partial G^2)
\end{align}

のように式変形します。$F < G$ ならば $th(t)$ の狭義単調減少性より $(F(hF))^2-(G(hG))^2 > 0$ が成立します。また、$th(t)$ が狭義単調減少ということは、$h$ も当然狭義単調減少であり、$(hF)^2-(hG)^2 > 0$ も成立します。したがって $F < G$ ならば

\begin{align}
H > (hF)^2(\partial F^2-\partial G^2)
\end{align}

上下からの評価より $|\partial F| < |\partial G|$ となります。ここで

\begin{align}
\partial G=\|\partial x_1\| > 0
\end{align}

だったことを思い出しましょう。$\partial G-\partial F > 0$ が成立しますね。$G(0)-F(0) > 0$ ですので $G(s)-F(s)$ は $s\ge 0$ で狭義単調増加であることが分かります。


ここで $H$ の下からの評価をもう一度見直しましょう。$f\big|S^{n-1}$ は最小値 $m > 0$ と最大値 $M$ をもちます。 また $c=G(0)-F(0)$ とおくと $G-F \ge c$ が成立します。これらに注意すると

\begin{align}
H&\ge(\alpha F(hF))^2-(\alpha G(hG))^2+(hF)^2(\partial F^2-\partial G^2)\\
&\ge\alpha^2F(hF)(F(hF)-G(hG))+h(m)^2(\partial F^2-\partial G^2)\\
&\ge\alpha^2Mh(M) (F(hF)-G(hG))+h(m)^2(\partial F^2-\partial G^2)\\
&\ge\alpha^2Mh(M)\inf_{m < t < M}\{th(t)-(t+c)h(t+c)\}+h(m)^2(\partial F^2-\partial G^2)
\end{align}

したがって或る $M_0>0$ が存在して

\begin{align}
\partial G^2-\partial F^2 > M_0
\end{align}

という評価が成り立ちます。更に $\partial G+\partial F < 2\partial G=2/\partial l_1^{-1}$ を使って

\begin{align}
\partial G-\partial F > \dfrac{M_0}{2}\partial l_1^{-1}
\end{align}

この評価式を $0$ から $l_1(\infty)$ に渡って積分してみましょう。右辺は $\infty$ に発散するため $G-F$ も下から $\infty$ で評価され発散することになってしまします。しかしこれは、$F,G$ が有界であることに反するため、結局背理法により最初の仮定である $f(x_0) < g(x_0)$ がダメだったことが導かれます。$f(x_0) > g(x_0)$ としても同様の議論で NG ですね。したがって球面上では $f=g$ であることが導かれました。


今回はここまで。次回は $th(t)$ が狭義単調増加の場合を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究66- ウィンターニッツ変換その２

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前回のウィンターニッツ変換の最初に定義した $\nu$ という関数は何なのか気になった方もいるでしょう。今回は $\nu$ の意味に関して考察してみます。


まず、微分連続な関数 $f:S^{n-1}\to\mathbb{R}$ を与えます。$f(x)x$ での接ベクトルを考えましょう。


$x$ に直交する単位ベクトル $\tilde{x}$ をとり、回転微分 $\partial_{x\tilde{x}}$ を $f(x)x$ に掛けてみます。

\begin{align}
\partial_{x\tilde{x}}(f(x)x)=(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)\tilde{x}
\end{align}

これが接ベクトルですね。この接ベクトルと $\nu$ との内積を計算します。

\begin{align}
\bigg\langle(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)\tilde{x},\dfrac{\alpha fx+(\partial_xf)x-\nabla f}{\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}}\bigg\rangle=\dfrac{\alpha f\partial_{\tilde{x}}f-f\partial_{\tilde{x}}f}{\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}}
\end{align}

この値は $\alpha=1$ のとき零になります。したがって $\alpha=1$ のときの $\nu$ は $f(x)x$ の単位法線ベクトルになっているわけですね。


また、$f$ に $1/\alpha$ 乗の重みが付けられている場合は、$f(x)^{1/\alpha}x$ の接ベクトルは

\begin{align}
\partial_{x\tilde{x}}(f(x)^{1/\alpha}x)=\dfrac{1}{\alpha}f(x)^{1/\alpha-1}(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)^{1/\alpha}\tilde{x}
\end{align}

となるので、$\nu$ との内積は零になります。今回はここまで。次回も $\nu$ を使った積分変換の話です。(written by J.Nishigata)


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研究67- ウィンターニッツ変換その３