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  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






$\alpha > 0$ とします。$2$ 階微分連続な関数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+$ に対して

\begin{align}
\nu:S^{n-1}\ni x\mapsto \dfrac{\alpha fx+(\partial_xf)x-\nabla f}{\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}}
\end{align}

と定義します。$th(t)$ が狭義単調となるような関数 $h:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ に対して

\begin{align}
&Wf(x)=\dfrac{f(x)(hf)(x)}{\langle x,\nu(x)\rangle},\\
&\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\{1+\langle x,y\rangle\}Wf\omega
\end{align}

この積分変換(ウィンターニッツ変換という)を今回は考えます。既にファンク変換と半球面コサイン変換をやっているので $Wf$ に関して一意的に解くことはできますね。したがって問題は $W$ が球面上の関数に関して単射であるか否かという点です。

\begin{align}
\alpha Wf(x)=(hf)(x)\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}
\end{align}

見ての通り $W$ は非線形作用素ですので、線型のときのような $Wf=0$ から $f=0$ を導く方法は使えません。$Wf=Wg$ から $f=g$ を証明します。方針は、$f(x_0) < g(x_0)$ なる $x_0\in S^{n-1}$ が存在すると仮定して矛盾を導くという背理法によります。難しそうですがやっていきましょう。


$th(t)$ は狭義単調なので、増加若しくは減少で場合分けが必要です。まずは $th(t)$ が狭義単調減少の場合を考えましょう。

\begin{align}
-(\partial_xf)^2+\|\nabla f\|^2=\{(\partial_x f)x-\nabla f\}^2\ge 0
\end{align}

であることに注意すると

\begin{align}
(\alpha Wf(x_0))^2\ge\{\alpha f(x_0)(hf)(x_0)\}^2
\end{align}

が成り立ちます。ここで左辺は $(\alpha Wg(x_0))^2$ に等しく、右辺は $\{\alpha g(x_0)(hg)(x_0)\}^2$ で下から評価できます。したがって

\begin{align}
-(\partial_xg(x_0))^2+\|\nabla g(x_0)\|^2 > 0
\end{align}

が成り立ちますね。$x_0$ を初期値とする微分方程式

\begin{align}
x(0)=x_0,\ \partial x=-(\partial_xg)x+\nabla g
\end{align}

の解 $x=x_1(t)$ を考えましょう。$2$ つ前の式から $\partial x_1(0)\neq 0$ が分かります。ここで微分方程式の解の一意性定理を考えると、常に $\partial x_1\neq 0$ の成立が言えます。この曲線 $x_1$ の性質を調べてみましょう。


$x_1$ の弧長を

\begin{align}
l_1(t)=\int_0^t\|\partial x_1\|\,dt
\end{align}

とおきます。$\partial l_1 > 0$ より $l_1$ の逆関数 $l_1^{-1}$ が一意的に存在して、その導関数は

\begin{align}
\partial l_1^{-1}(s)=\dfrac{1}{\partial l_1(t)}=\dfrac{1}{\|\partial x_1(t)\|},\ s=l_1(t)
\end{align}

です。これは後程弧長表示するときに使います。$x_1\in S^{n-1}$ も成立しそうな気がします。確かめてみましょう。


或る $t_2$ が存在して $x_1(t_2)\not\in S^{n-1}$ であると仮定して背理法を使います。$t_1 < t_2,x_1(t_1)\in S^{n-1},x_1\big|(t_1,t_2]\not\in S^{n-1}$ なる $t_1$ をとりましょう。

\begin{align}
\dfrac{\partial\|x_1\|^2}{\|x_1\|^2-1}=\dfrac{2\langle x_1,\partial x_1\rangle}{\|x_1\|^2-1}
\end{align}

右辺に微分方程式の $\partial x_1$ を代入すれば

\begin{align}
\dfrac{\partial\|x_1\|^2}{\|x_1\|^2-1}=-2\partial_{x_1}g
\end{align}

これを $[t_1+\varepsilon,t_2]$ の区間で積分してみます。

\begin{align}
\log\big|\|x_1(t_2)\|^2-1\big|-\log\big|\|x_1(t_1+\varepsilon)\|^2-1\big|=-2\int_{t_1+\varepsilon}^{t_2}\partial_{x_1}g\,dt
\end{align}

$\varepsilon\to 0$ の極限で左辺は発散し、右辺は収束します。したがって背理法により $x_1\in S^{n-1}$ であることが分かりました。$\langle x_1,\partial x_1\rangle=0$ ですので

\begin{align}
\partial (gx_1)=\langle \partial x_1,\nabla g\rangle
\end{align}

右辺に微分方程式を代入して

\begin{align}
\partial (gx_1)=\langle \partial x_1,\partial x_1+(\partial_{x_1}g)x_1\rangle=\|\partial x_1\|^2
\end{align}

が成立します。これを弧長表示 $t=l_1^{-1}(s)$ に直してみましょう。

\begin{align}
\partial (gx_1l_1^{-1})(s)=\partial l_1^{-1}(s)\partial (gx_1)(t)=\|\partial x_1(t)\|
\end{align}

これを用いて

\begin{align}
-\partial_{x_1}g(x_1)^2+\|\nabla g(x_1)\|^2=\|\{\partial_{x_1}g(x_1)\}x_1-\nabla g(x_1)\|^2=\|\partial x_1\|^2=\partial (gx_1l_1^{-1})^2
\end{align}

以上で証明するための準備が整いました。今回はここまで。次回は続きをやります。(written by J.Nishigata)


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研究65- ウィンターニッツ変換その１

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回は $th(t)$ が狭義単調減少の場合の証明をやりました。今回は $th(t)$ が狭義単調増加の場合を考えます。

\begin{align}
(\alpha Wf(x_0))^2=(\alpha Wg(x_0))^2\ge \{\alpha g(x_0)(hg)(x_0)\}^2 > \{\alpha f(x_0)(hf)(x_0)\}^2
\end{align}

より、今回は

\begin{align}
-(\partial_xf(x_0))^2+\|\nabla f(x_0)\|^2 > 0
\end{align}

が成立します。

\begin{align}
x(0)=x_0,\ \partial x=(\partial_xf)x-\nabla f
\end{align}

の解を $x=x_2(t)$ とします。証明は $x_1$ のときと同じなので省略しますが、結果だけ書くと


i). $\partial x_2\neq 0$ であり

\begin{align}
l_2(t)=\int_0^t\|\partial x_2\|\,dt
\end{align}

の逆関数 $l_2^{-1}$ が一意的に存在して、その導関数は

\begin{align}
\partial l_2^{-1}=\dfrac{1}{\|\partial x_2\|}
\end{align}

ii). $x_2\in S^{n-1}$
iii). $\partial (fx_2l_2^{-1})=-\|\partial x_2\|$
iv). 不等式

\begin{align}
&-\partial_{x_2}f(x_2)^2+\|\nabla f(x_2)\|^2=\partial (fx_2l_2^{-1})^2,\\
&-\partial_{x_2}g(x_2)^2+\|\nabla g(x_2)\|^2\ge \partial (gx_2l_2^{-1})^2
\end{align}

が成立する。


今回も前回と同様に

\begin{align}
&F=(fx_2l_2^{-1}),\ G=(gx_2l_2^{-1}),\\
&H=(hF)^2\{(\alpha F)^2+\partial F^2\}-(hG)^2\{(\alpha G)^2+\partial G^2\}
\end{align}

とおいて議論を進めます。まず、$H$ を下から評価して

\begin{align}
H\ge (\alpha Wf)^2-(\alpha Wg)^2=0
\end{align}

一方、上からは $F < G$ ならば

\begin{align}
H &< ((hF)\partial F)^2-((hG)\partial G)^2\\
&=\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\bigg\{\bigg(\dfrac{F(hF)}{G(hG)}G\partial F\bigg)^2-(F\partial G)^2\bigg\}\\
&\le\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\{(G\partial F)^2-(F\partial G)^2\}
\end{align}

これら上下からの評価を合わせて $|G\partial F| > |F\partial G|$ が得られます。ここで $\partial F < 0$ だったので $-G\partial F+F\partial G > 0$ が成立します。したがって $F < G$ ならば

\begin{align}
\partial(G/F)=\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2} > 0
\end{align}

$F(0) < G(0)$ より $G(s)/F(s)$ は $s \ge 0$ で狭義単調増加となります。ここでもう一度 $H$ の評価を見直しましょう。


$f\big|S^{n-1}$ の最小値を $m$ 最大値を $M$、$g\big|S^{n-1}$ の最小値を $\tilde{m}$ 最大値を $\tilde{M}$ とします。また、$c=G(0)/F(0)$ とおくと $G/F \ge c$ が成立します。これに注意して

\begin{align}
H&=(\alpha F(hF))^2-(\alpha G(hG))^2+((hF)\partial F)^2-((hG)\partial G)^2\\
&\le \alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}+\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\{(G\partial F)^2-(F\partial G)^2\}\\
&\le\alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}+(hG)^2(-G\partial F-F\partial G)\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}\\
&\le\alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}-2\sup_{\tilde{m} < t < \tilde{M}}th(t)^2\partial F\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}
\end{align}

したがって、或る $M_0 > 0$ が存在して

\begin{align}
\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}\ge -M_0\dfrac{1}{\partial F}
\end{align}

という評価が得られます。この式を $0$ から $l_2(\infty)$ まで積分すると、右辺は $\infty$ に発散するため $G/F$ も発散してしまいます。$f\big|S^{n-1},g\big|S^{n-1}$ の最大値最小値に注意すると $G/F$ は上から $\tilde{M}/m$ で抑えられなければならないため、矛盾が生じますね。


背理法より $f(x_0) < g(x_0)$ という前提がダメでした。逆向きの大小関係を仮定しても同様に矛盾します。したがって球面上では $f=g$ でなければなりません。


以上で、$W$ の単射性が得られました。話を元に戻すと、ウィンターニッツ変換は単射であると言えます。ちなみに $th(t)$ の条件である「狭義」を「広義」に変更してしまうとウィンターニッツ変換は単射ではなくなってしまいます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究66- ウィンターニッツ変換その２