MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は環状項が消えない場合の話をしましたが、今回は逆に環状項が全く出てこない場合の話をします。


そもそもの目的が環状項を計算することだったので、全く出てこないことは問題になります。このような場合は、剰余項の級数が円板定義関数へ収束するようにできれば良いです。正しくは、剰余項の級数で環状項を計算できるタイプの PSF へ収束させることができれば良い、ということになります。


剰余項の張る関数空間のクラスを調べなければならないのですが、これは別の機会に考えましょう。今回はここまで。次回は剰余項の級数の設定方法を考えます。(written by J.Nishigata)


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研究18- 環状項が全く出てこない場合の対処法

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は

\begin{align}
D(\alpha)=b_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_id_i=0
\end{align}

のように、非常に強い条件を付けたのですが、今回はこの条件を弱めます。評価すべき式を復習すると

\begin{align}
\bigg(a_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=\psi+\langle D(\alpha)\rangle_k
\end{align}

の右辺の第 $2$ 項でしたね。この項の絶対値が最小になるように $\alpha$ を決めればよさそうです。コーシーの不等式を使えば

\begin{align}
\big|\langle D(\alpha)\rangle_k\big|\le\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_0^1X\psi(rX,y)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

上から評価できます。したがって

\begin{align}
\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

を最小化するような $\alpha$ を選べば最良であるかは別問題としても目的には近づきます。最小値問題の解法は最小二乗法を使えば簡単でしょう。


以上のように $\alpha$ を決めて剰余項の級数を小さく見積もれば、零へ収束しない場合であっても近似的に近い結果が得られます。今回はここまで。次回は、この方法を実際のデコンボリューションへ利用する際の注意点を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究19- 剰余項の級数