MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回場合分けをした i),ii) の場合を考えます。まず、$bk(1)\neq 0$ の場合から。

\begin{align}
(2+r\partial_r)a\langle 1\rangle_k=bk(1)\psi-\langle X\partial b\rangle_k
\end{align}

を $bk(1)$ で割って

\begin{align}
a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_1=\dfrac{(2+r\partial_r)a}{bk(1)},\ b_1=-\dfrac{X\partial b}{bk(1)}
\end{align}

を得ます。この導関数を計算すると

\begin{align}
(2+r\partial_r)a_1\langle 1\rangle_k=2\psi+r\partial_r\psi+b_1k(1)\psi-\langle X\partial b_1\rangle_k
\end{align}

ここから $\{2+b_1k(1)\}a_1\langle 1\rangle_k$ を引けば

\begin{align}
a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k,\ a_2=(2+r\partial_r)a_1\langle 1\rangle_k-\{2+b_1k(1)\}a_1\langle 1\rangle_k,\ b_2=-X\partial b_1-\{2+b_1k(1)\}b_1
\end{align}

が得られます。環状項が消えない場合は

\begin{align}
&a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\\
&a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k
\end{align}

と連立させることによって環状項を消去して、剰余項を生成する式を作ります。続いて $bk(1)=0,\partial bk(1)\neq 0$ の場合。

\begin{align}
r^2\Delta a\langle 1\rangle_k=-\partial bk(1)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)b\rangle_k
\end{align}

を $-\partial bk(1)$ で割って

\begin{align}
a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_1=-\dfrac{r^2\Delta a}{\partial bk(1)},\ b_1=-\dfrac{(X^{-1}\partial+\partial^2)b}{\partial bk(1)}
\end{align}

後は i) の場合と同様です。以上により、剰余項を生成する演算子の集合 $G$ は、更に大きくとることができます。なお、$a_1,a_2$ の方程式を得る方法は、ここに示した方法以外でも $\psi,\partial_r\psi$ の連立方程式として導いても良いでしょう。


今回はここまで。次回は iii) の場合をやります。(written by J.Nishigata)


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研究17- 環状項が消えない場合の剰余項の生成方法

MathJax = {
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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前々回の続きです。今得られている式は、環状項が消えない式

\begin{align}
a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k
\end{align}

そして剰余項を生成する式

\begin{align}
c_i\langle 1\rangle_k=\langle d_i\rangle_k,\ c_i\in G
\end{align}

です。ここで

\begin{align}
b_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_id_i=0,\ b_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_id_i=0
\end{align}

を満足する数列 $\{\alpha_i\},\{\beta_i\}$ が存在するならば

\begin{align}
\bigg(a_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=\psi,\ \bigg(a_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi
\end{align}

以上により畳込み像 $\langle 1\rangle_k$ から環状項 $\psi,r\partial_r\psi$ を計算することができました。数列の存在命題に関しては前回同様に別の機会に考えたいと思います。


今回はここまで。次回は級数部分の評価方法を考えることによって、今回の主張を少し弱めたいと思います。(written by J.Nishigata)


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研究18- 環状項が全く出てこない場合の対処法