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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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今回扱う積分核は

\begin{align}
K(X,r)=\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{(-\nu^1x+x^1\nu)\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta
\end{align}

です。前回と同様に $X=m,M$ 近傍の様子を調べます。道具は前回準備しているので、今回は簡単ですね。

\begin{align}
&K(m+\varepsilon,r)=\dfrac{1}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi_i}}\int_{S^{n-2}}(-\nu^1x+x^1\nu)\tilde{\omega}(1+O(\varepsilon)),\\
&K(M-\varepsilon,r)=\dfrac{1}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi_i}}\int_{S^{n-2}}(-\nu^1x+x^1\nu)\tilde{\omega}(1+O(\varepsilon))
\end{align}

前回と異なる部分は、積分される関数が $\nu$ から $-\nu^1x+x^1\nu$ へ変わった点です。$\nu$ は並進運動に対して不変ですが $-\nu^1x+x^1\nu$ は違います。例えば $x_m=-\|x_m\|e_1$ ならば $X=m$ の近傍で

\begin{align}
-\nu^1x+x^1\nu=\sum_{i=1}^{n-1}\{1+(m-r)\chi_i\}t^iu_i\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}+O(\varepsilon)
\end{align}

であり、したがって積分値は

\begin{align}
K(m+\varepsilon,r)=\dfrac{1}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi_i}}O(\varepsilon)
\end{align}

となります。一方 $x_m\neq-\|x_m\|e_1$ ならば

\begin{align}
-\nu^1x+x^1\nu=-\nu^1(x_m)x_m+x_m^1\nu(x_m)+\sum_{i=1}^{n-1}\{-\chi_iu_i^1x_m-\nu^1(x_m)u_i+u_i^1\nu(x_m)+x_m^1\chi_iu_i\}t^i\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}+O(\varepsilon)
\end{align}

であり、この $\varepsilon^0$ 次の項は $x_m+re_1=-m\nu(x_m)$ であることに注意して

\begin{align}
-\nu^1(x_m)x_m+x_m^1\nu(x_m)=\dfrac{r}{m}(x_m-x_m^1e_1)\neq 0
\end{align}

のように消えずに残ります。したがって積分値は

\begin{align}
K(m+\varepsilon,r)=\dfrac{r\sigma_{n-2}}{2m}(x_m-x_m^1e_1)\varepsilon^{(n-3)/2}(1+O(\varepsilon))\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi_i}}
\end{align}

このように $x_m$ と $e_1$ の位置関係によって $X=m$ 近傍での $K$ の振る舞いは大きく変化します。$X=M$ の近傍でも同様ですね。今回はここまで。次回は、今回の性質を使って端点で互いに異なるオーダーで振る舞う積分核を作ります。(written by J.Nishigata)


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研究153- 端点での積分核の振る舞いその２

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前回は端点 $X=m,M$ でオーダーの異なる積分核を構築しました。説明し易いように $X=m$ の近傍でのオーダーを $(n-3)/2$、$X=M$ の近傍でのオーダーを $(n-1)/2$ としておきます。このような積分核を改めて $k$ とおきましょう。

\begin{align}
\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX
\end{align}

$n\ge 4$ の場合、この関数を $r$ に関して微分してみます。

\begin{align}
\partial_r\int_m^Mk(X,r)\psi(X,y)\,dX&=\partial_r\int_0^{M-m}k(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\
&=(\partial M-\partial m)k(M,r)\psi(M,y)+\int_0^{M-m}\partial_rk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX\\
&\quad+\partial m\int_0^{M-m}\partial_Xk(X+m,r)\psi(X+m,y)\,dX+\partial m\int_0^{M-m}k(X+m,r)\partial_X\psi(X+m,y)\,dX\\
&=\partial Mk(M,r)\psi(M,y)-\partial mk(m,r)\psi(m,y)+\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX\\
&=\int_m^M\partial_rk(X,r)\psi(X,y)\,dX
\end{align}

ここで $\partial_rk$ の端点でのオーダーは $X=m$ の近傍で $(n-5)/2$、$X=M$ の近傍で $(n-3)/2$ となりますね。これを繰り返すと帰納的に $n$ が偶数の場合は $(-1/2,1/2)$ というオーダーの組み合わせ、$n$ が奇数の場合は $(0,1)$ というオーダーの組み合わせが得られます。このように次数を減らした積分核を再度 $k$ とおき直すことにしましょう。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究154- 端点で異なるオーダーで振る舞う積分核その１