MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






$\Omega$ を $\mathbb{R}^n$ の滑らかな凸体としましょう。$\Omega$ が定幅($=c$)ならば $\Omega$ の $n-1$ 次元平面への射影の幅も $c$ で一定になります。射影の体積(外測と呼ぶ)が上から

\begin{align}
\dfrac{c^{n-1}\pi^{(n-1)/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+1)/2)}
\end{align}

で評価されていると仮定しましょう。すべての射影方向に渡り外測を積分すると、$\partial\Omega$ の体積は上から

\begin{align}
\mathrm{vol}(\partial\Omega)\le\dfrac{nc^{n-1}\pi^{n/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

で評価されます。ここで等周不等式

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n
\end{align}

の右辺を評価しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\bigg\{\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}\bigg\}^{n-1}
\end{align}

すなわち

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\le\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

が成り立ちます。帰納的にこの評価式は成り立ちそうな雰囲気がありますが、初項はどうでしょうか。$n=1$ を代入すると右辺は

\begin{align}
\dfrac{c\pi^{1/2}}{2\Gamma(3/2)}=c
\end{align}

となり評価式は成立します。以上で定幅な凸体の体積評価ができました。なお、等周不等式の等号成立は $\Omega$ が球体の場合に限ります。今回はここまで。次回は $\Omega$ が球体であるための必要充分条件を考えます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究143- 定幅な凸体の体積評価

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、線素と曲率の関係から調べていきましょう。用いる記号は前回のものを流用します。$\|\partial a\|=1$ だったので、線素は $dt$ ですね。一方、接ベクトルの微分は $e(\xi+\pi/2)\partial\xi\,dt$ すなわちベクトルの角度は $\partial\xi\,dt$ 変化します。したがって、線素に曲率を掛けると角度の微分になります。


一般次元に対しても、主曲率に分解すれば同様の結論が得られます。$y=\nu^{-1}(x)$ によって $\partial\Omega$ から $S^{n-1}$ への引き戻しを考えてみましょう。$\partial\Omega$ の体積形式は $\omega/\chi_g(\nu^{-1}(x))$ へ引き戻されます。ここに $\chi_g$ はガウス曲率です。


以上より、$\Omega$ の体積は

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

ついでに表面積の式も書いておくと

\begin{align}
\mathrm{vol}(\partial\Omega)=\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

ですね。今回はここまで。次回は、球体の必要充分条件の節でやり残していた後半の命題を考えます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究144- 球体の必要充分条件