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次のような状況を考えてみましょう。

\begin{align}
&(a(\tilde{t})_0,a(\tilde{t}_1))\in A,\ a(\tilde{t}_1)-a(\tilde{t}_0)\neq \|a(\tilde{t}_1)-a(\tilde{t}_0)\|\nu(\tilde{t}_1),\\
&a(\tilde{t}_1)=0,\ \nu(\tilde{t}_1)=e_1
\end{align}

$\lim_{X\to m}t^+=t_0$ に対して $a(t_0)+re_1=-m\nu(t_0)$ なので、$r\to\infty$ の極限で $\nu(t_0)\to -e_1$ となります。したがって $a(t_0)\to a(\tilde{t}_0)$ すなわち $t_0\to\tilde{t}_0$ が成立します。一方 $\lim_{X\to M}t^+=t_1$ に対しては $\tilde{t}_1$ での曲率半径よりも $r$ が大きければ $t_1=\tilde{t}_1$ が成立します。


$\langle a(\tilde{t}_0),\partial a(\tilde{t}_0)\rangle\neq 0,\langle a(\tilde{t}_1),\partial a(\tilde{t}_1)\rangle=0$ なので、充分大きな $r$ に対して $\langle a(t_0),\partial a(t_0)\rangle\neq 0,\langle a(t_1),\partial a(t_1)\rangle=0$ となることに注意しましょう。


ここで $k_2$ の端点を考えてみると、$X=m$ 近傍では

\begin{align}
k_2= \sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi(t_0)}}\langle a(t_0),\partial a(t_0)\rangle(X-m)^{-1/2}+c_2(X-m)^{1/2}+o((X-m)^{1/2})
\end{align}

$X=M$ 近傍では

\begin{align}
k_2= c_4(M-X)^{1/2}+o((M-X)^{1/2})
\end{align}

すなわち一方の端点 $X=m$ でのみ $-1/2$ 次のオーダーで発散することが分かります。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究141- 端点の一方のみで発散する積分核その１

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$\Omega$ を $\mathbb{R}^n$ の滑らかな凸体としましょう。$\Omega$ が定幅($=c$)ならば $\Omega$ の $n-1$ 次元平面への射影の幅も $c$ で一定になります。射影の体積(外測と呼ぶ)が上から

\begin{align}
\dfrac{c^{n-1}\pi^{(n-1)/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+1)/2)}
\end{align}

で評価されていると仮定しましょう。すべての射影方向に渡り外測を積分すると、$\partial\Omega$ の体積は上から

\begin{align}
\mathrm{vol}(\partial\Omega)\le\dfrac{nc^{n-1}\pi^{n/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

で評価されます。ここで等周不等式

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n
\end{align}

の右辺を評価しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\bigg\{\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}\bigg\}^{n-1}
\end{align}

すなわち

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\le\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

が成り立ちます。帰納的にこの評価式は成り立ちそうな雰囲気がありますが、初項はどうでしょうか。$n=1$ を代入すると右辺は

\begin{align}
\dfrac{c\pi^{1/2}}{2\Gamma(3/2)}=c
\end{align}

となり評価式は成立します。以上で定幅な凸体の体積評価ができました。なお、等周不等式の等号成立は $\Omega$ が球体の場合に限ります。今回はここまで。次回は $\Omega$ が球体であるための必要充分条件を考えます。(written by J.Nishigata)


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研究142- 端点の一方のみで発散する積分核その２