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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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$\Omega$ の面積は

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^La(t)\times\partial a(t)\,dt=\dfrac{1}{2}\int_0^LC_2(t)\,dt
\end{align}

です。$\theta=\xi(t)$ によって弧長表示から弧度表示に変換してみましょう。

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\partial\xi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

この分母に現れているものが曲率ですね。注意ですが、分母が零になることはありません。狭義凸体の曲率は常に正です。曲率を $\chi$ と書いておくと

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

となります。ついでに周の長さも同様に計算してみると

\begin{align}
|\partial\Omega|=\int_0^Ldt=\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

ですね。今回はここまで。次回は後半の命題 b) を証明します。(written by J.Nishigata)


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研究131- 曲率を用いた面積表示

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$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ のポンペイユ像の自由度は並進運動の自由度と回転運動の自由度です。まず、並進運動に関しての導関数を計算しましょう。$p\in S^1$ 方向への導関数は

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}\partial_pg^{-1}f\,dx^1\wedge dx^2\\
&=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)
\end{align}

もう一回微分してみましょう。

\begin{align}
\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)\\
&=\int_{\partial\Omega}(p^1\partial_1g^{-1}f+p^2\partial_2g^{-1}f)(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)
\end{align}

同様にして $q=R_{\pi/2}p$ 方向へ $2$ 回微分すると

\begin{align}
\partial_q^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}(-p^2\partial_1g^{-1}f+p^1\partial_2g^{-1}f)(-p^1\,dx^1-p^2\,dx^2)
\end{align}

これでラプラシアン像を計算することができますね。

\begin{align}
\Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_1g^{-1}f\,dx^2-\partial_2g^{-1}f\,dx^1
\end{align}

最後に回転運動に関しての導関数を計算します。

\begin{align}
\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\,dx^1\wedge dx^2\\
&=\int_{\partial\Omega}-\langle q,x\rangle g^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)+\langle p,x\rangle g^{-1}f(-q^2\,dx^1+q^1\,dx^2)\\
&=(p^2q^1-p^1q^2)\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(x^1\,dx^1+x^2\,dx^2)\\
&=-\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(x^1\,dx^1+x^2\,dx^2)
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究132- 命題 b) の証明