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$\partial\Omega$ 上の任意の点 $x_1$ での法線ベクトル $\nu(x_1)$に対して、或る $x_2\in\partial\Omega$ が存在して $\nu(x_1)+\nu(x_2)=0$ となります。このような $(x_1,x_2)$ の組全体を集合 $A$ とおきます。以下の命題の内、少なくとも一方が成立することと $\Omega$ が円ではないことは同値でしょうか。


i). 或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1-x_2\neq\|x_1-x_2\|\nu(x_1)$ が成立する。
ii). $\Omega$ は定幅であり、かつ或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ での曲率と $x_2$ での曲率は等しくない。


$\Omega$ が円ならば i),ii) は共に成立しないので、対偶となる順方向の命題は明らかに成立しますね。問題は逆方向の命題です。円ではないときに i),ii) の少なくとも一方と言っているので、i) が成立しないと仮定したときに ii) が成立すれば良いです。


証明すべきことは、


a). $\Omega$ が円ではなく i) が成立しないならば $\Omega$ は定幅である。
b). $\Omega$ が円ではなく i) が成立しないならば或る $(x_1,x_2)\in A$ が存在して $x_1$ での曲率と $x_2$ での曲率は等しくない。


まず、a) から解いていきましょう。では次回。(written by J.Nishigata)


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研究129- 円ではないことの必要充分条件

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$\Omega$ の面積は

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^La(t)\times\partial a(t)\,dt=\dfrac{1}{2}\int_0^LC_2(t)\,dt
\end{align}

です。$\theta=\xi(t)$ によって弧長表示から弧度表示に変換してみましょう。

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\partial\xi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

この分母に現れているものが曲率ですね。注意ですが、分母が零になることはありません。狭義凸体の曲率は常に正です。曲率を $\chi$ と書いておくと

\begin{align}
|\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

となります。ついでに周の長さも同様に計算してみると

\begin{align}
|\partial\Omega|=\int_0^Ldt=\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta
\end{align}

ですね。今回はここまで。次回は後半の命題 b) を証明します。(written by J.Nishigata)


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研究130- 命題 a) の証明