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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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結局 $2$ つ目の漸化式を使うことなく反転公式が構築できてしまいました。$2$ つ目の漸化式はどんなものであったのか復習すると

\begin{align}
\dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if+\partial_r\mathscr{V}_if=-\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

でしたね。今回は、別解を考えるという意味で、この漸化式の使い道を考えてみます。まず、両辺に $r^{n-2}$ を掛けてみましょう。

\begin{align}
(n-2)r^{n-3}\mathscr{V}_if+r^{n-2}\partial_r\mathscr{V}_if=-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

左辺は積分したら簡単になりますね。今までの議論では、変数 $r$ に関して、与えられた $r$ での導関数のみ許可されていたのですが、この条件を弱くすれば積分ができます。

\begin{align}
r_2^{n-2}\mathscr{V}_if(r_2,q,z)-r_1^{n-2}\mathscr{V}_if(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

$n > 2$ の場合は、存在するか否かは別問題として

\begin{align}
\mathscr{V}_if(\infty,q,z)=\int_{r_1}^{\infty}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

が極限で得られます。$f$ に課される条件が強すぎるため、面白くありません。$n=2$ の場合はどうでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{V}_2f(r_2,q,z)-\mathscr{V}_2f(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-\dfrac{1}{r}u\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2u\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr
\end{align}

$3$ つ目の漸化式も書くと

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\langle u,\partial_{qu}\mathscr{V}_2f\rangle=\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f
\end{align}

こちらも $q$ に関して積分して

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\{\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle-\langle e_2,\mathscr{V}_2f(r,e_1,z)\rangle\}=\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

以上の $2$ つの式を連立すれば

\begin{align}
\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle=P(z)+\int_{r_1}^{r}\bigg(-\dfrac{1}{r}\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr+r\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)-2\partial_q\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

ここに $P(z)=\langle R_{\pi/2}e_1,\mathscr{V}_2f(r_1,e_1,z)\rangle$ です。$\mathscr{V}_2f$ が $P(z)$ の不定性を除いて定まりました。後は $P(z)$ を求めるだけですが、これは簡単で $q$ に関して $1$ 周積分すれば良いです。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究86- 2 つ目の漸化式の使いどころ

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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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今後の光学について考えるということは、我々にとってはデコンボリューションの研究の位置付けという意味もあります。デコンボリューションの話題を再開させるにあたり、確認しておくことにしましょう。


さて、幾つかの視点から今後の光学について考えてみましょう。まず最初は、眼の進化という視点で考えてみます。


我々の眼、すなわちレンズ眼の発現から既に数億年のブランクがあるわけですが、その間に我々の眼の使い方は脳の機能の支えられ大きく変化しました。よくある SF 作品で描写されるように、人類のテクノロジーを超えた存在は肥大化した眼と脳で誇張表現されることが多いですね。ただ、この表現は今の人類の機能からインクリメンタルに到達し得るので、光学的に意義のあるものではありません。


では、ソフトウェア的にはどのように考えられるでしょうか。光学のパラダイムが大きく変化した量子光学以来約 100 年。この間に我々の光学理解は、観測問題を内包する形で大きく進みました。こちらは非常に期待できると思います。


さて、ハード・ソフトの両面から光学を考えることができるのですが、近年の科学技術の進歩により我々はもう一つの視点も得ることができるようになっています。それは、眼と脳を代替する技術としてのカメラとコンピュータに依ります。我々は眼で得られた情報を新しいソフトウェアでもって脳で解析することはできませんが、カメラで得られた情報を新しいソフトウェアでもってコンピュータで解析することはできます。すなわちハードとソフトの良いとこ取りができるわけですね。


科学技術は、アナログ画像・デジタル画像・ネットワークを介した画像を経てインテリジェンスとしての画像の時代に突入しています。


デコンボリューションの位置付けは最後の科学技術的なパターンですね。光学的にラディカルに意味のあるアルゴリズムを発明したいものです。


さて、次回からは再び本格的にデコンボリューションの話題を再開したいのですが、その前にデコンボリューションの課題を整理しておこうと思います。(written by J.Nishigata)


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研究87- 光学の歴史