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前回どこまでやったかというと

\begin{align}
&\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\
&\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+B\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

という式まで変形してきました。既にファンク変換と半球面コサイン変換はファンク-ヘッケの定理で解析済みですので、右辺の最後の項にファンク-ヘッケの定理を使うことは容易ですね。

\begin{align}
&\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_if_i,\\
&\int_{\partial S_y}f\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\beta_if_i
\end{align}

と書いておきましょう。更にフーリエ級数表示に合わせる意味で $\mathscr{K}_K^-f,\mathscr{K}_K^+f$ も展開しておきます。

\begin{align}
&\mathscr{K}_K^-f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-f_i,\\
&\mathscr{K}_K^+f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+f_i
\end{align}

これらの表現で改めて前回の式を書いてみましょう。

\begin{align}
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-E_{\tilde{A}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+E_{\tilde{B}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i
\end{align}

$E_{\tilde{A}},E_{\tilde{B}}$ は簡単に因数分解できますね。$\tilde{A},\tilde{B}$ の定義から

\begin{align}
&E_{\tilde{A}}=-\lambda+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j\lambda^{j+1},\\
&E_{\tilde{B}}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j\lambda^j
\end{align}

ここで $\{a_i\},\{b_i\}$ の定義は

\begin{align}
\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\lambda_{k_i})^j=1,\ \sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\lambda_{l_i})^j=1
\end{align}

でしたね。したがって

\begin{align}
&E_{\tilde{A}}=a_{\mu_0}\lambda(\lambda-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda-\lambda_{k_{\mu_0}}),\\
&E_{\tilde{B}}=b_{\mu_1}(\lambda-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda-\lambda_{l_{\mu_1}})
\end{align}

が成立します。これを左辺に代入すると

\begin{align}
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-a_{\mu_0}\lambda_i(\lambda_i-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{k_{\mu_0}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+b_{\mu_1}(\lambda_i-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{l_{\mu_1}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i
\end{align}

前者の式に関して、左辺の奇数次の球面調和関数 $m_i^-f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で奇数次の $m_i^-$ を求めることができます。後者の式も同様に、左辺の偶数次の球面調和関数 $m_i^+f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で偶数次の $m_i^+$ を求めることができます。


$\mathscr{K}_Kf=\mathscr{K}_K^-f+\mathscr{K}_K^+f$ なので $\mathscr{K}_Kf$ に関しても分かったことになります。直接的に半球面一般コサイン変換の因子を計算するよりも簡単な計算になっていると思います。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究75- 半球面一般コサイン変換の反転公式

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以前、デコンボリューション後半の議論で円周の族に関する積分変換を考えたことを思い出してみてください。今回は、その時の話題の一般化になります。まずは積分変換を定義しましょう。

\begin{align}
&\mathscr{V}_if:\mathbb{R}^+\times S^{n-1}\times\mathbb{R}^n\ni(r,q,z)\mapsto\mathrm{pv}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\{1-\langle q,x\rangle\}\{x-\langle q,x\rangle q\}}{\{1-\langle q,x\rangle^2\}^{i/2}}f(r x+r q+z)\omega,\\
&\mathscr{S}_if:\mathbb{R}^+\times S^{n-1}\times\mathbb{R}^n\ni(r,q,z)\mapsto\mathrm{pv}\int_{S^{n-1}}\dfrac{f(r x+r q+z)}{\{1-\langle q,x\rangle^2\}^{(i-2)/2}}\omega
\end{align}

このような積分変換を $i=2,4,\ldots,2\lfloor n/2\rfloor$ に対して定義します。見ての通り、$\mathscr{S}_2f$ が以前議論した $\psi$ の一般化ですね。したがって目的も同じで、$\mathscr{S}_2$ の反転公式を導くことです。


何となく感付いているかもしれませんが、$i=2$ の式から帰納的に $i=2\lfloor n/2\rfloor$ へ向かって計算を進めていくことになります。この方針の意図は何でしょうか。

\begin{align}
[0,\pi]\times \partial S_q\ni(\varphi,x)\mapsto x\sin\varphi+q\cos\varphi
\end{align}

によって積分を $[0,\pi]\times \partial S_q$ へ引き戻してみましょう。

\begin{align}
&\mathscr{V}_if=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\mathscr{S}_if=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

$n$ が偶数の場合には $\mathscr{V}_nf$ は円周上のヒルベルト変換になります。このように、最終的にヒルベルト変換へ関連付けて $f$ を計算するために関数列を定義しているわけです。今回は定義だけですがここまで。次回は導関数を計算します。(written by J.Nishigata)


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研究76- 点への射影測度その１