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  }
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球面ラプラシアンの冪級数というものは

\begin{align}
A=\sum_{i=0}^m\alpha_i(\Delta^S)^i
\end{align}

を指します。今回は、この作用素の零点を調べます。まず $A$ の特性方程式を定義しましょう。

\begin{align}
E_A=\sum_{i=0}^m\alpha_i\lambda^i
\end{align}

この特性方程式が解 $\lambda=\lambda_j$ をもつと仮定します。$f\in H^j$ に対して

\begin{align}
Af=\sum_{i=0}^m\alpha_i(\lambda_j)^if=E_A(\lambda_j)f=0
\end{align}

すなわち $j$ 次の球面調和関数は $A$ の零点になります。では、逆の命題はどうなるでしょうか。$f$ を $A$ の自明ではない零点としましょう。$f$ を直交分解して

\begin{align}
f=\sum_{i=0}^{\infty}f_i,\ f_i\in H^i
\end{align}

としておきます。

\begin{align}
Af=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^{\infty}\alpha_i(\lambda_j)^if_j=\sum_{j=0}^{\infty}E_A(\lambda_j)f_j
\end{align}

ですので任意の $j$ に対して $E_A(\lambda_j)f_j=0$ が成立します。$f$ は恒等的に零ではないので、或る $j_0$ が存在して $E_A(\lambda_{j_0})=0$ が成立します。


以上の命題をまとめると、「$A$ が自明ではない零点をもつことと、$E_A$ が解 $\lambda_j$ をもつことは同値である」となります。


なお、この命題は偶奇に分けても成立します。ここで偶奇と言っているのは

\begin{align}
&f(x)=f(-x)\Longleftrightarrow f:\ \text{even function},\\
&f(x)=-f(-x)\Longleftrightarrow f:\ \text{odd function}
\end{align}

という意味で、例えば「$A$ が自明ではない偶関数の零点をもつことと、$E_A$ が偶数次の解 $\lambda_j$ をもつことは同値」が言えます。今回はここまで。次回は半球面一般コサイン変換のラプラシアンを計算していきましょう。(written by J.Nishigata)


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研究71- 球面ラプラシアンの冪級数の零点

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前回は $1$ 階の球面ラプラシアンのみ計算しました。$2$ 階以上の計算はどうなるでしょうか。取り合えず $2$ 階の場合を計算すると

\begin{align}
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK_1(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK_0(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f
\end{align}

ここで $\partial LK_1(0)=\partial LK(0),LK_0(0)=LK(0)$ なので、置き換えると

\begin{align}
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f
\end{align}

これを参考に一般化すると

\begin{align}
&(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_0f\omega+\sum_{i=1}^j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_1f\omega-\sum_{i=1}^jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_0}^-f
\end{align}

となりますね。ここで以前やったルジャンドル作用素の冪級数による積分核の表現を思い出しましょう。

\begin{align}
&K_0=c_0+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_0,\\
&K_1=\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_1
\end{align}

これを使えば剰余項がどうにかできそうですね。

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{K_1}^+f,\\
&\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_1f\omega-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{K_0-c_0}^-f
\end{align}

前者は $K_1=K-K_0$ を右辺の最後の項に使うことで

\begin{align}
\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\bigg)\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

一方、後者は $K_0=K-K_1$ を右辺の最後の項に使って、全体の球面ラプラシアンを計算することで

\begin{align}
\bigg(-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1}\bigg)\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega-\bigg(-c_0+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1}\bigg)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y
\end{align}

これで剰余項が消えました。式を見やすくするために演算子をまとめて

\begin{align}
&\tilde{A}=-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1},\\
&A=c_0-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1},\\
&\tilde{B}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j,\\
&B=\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}
\end{align}

とおくと

\begin{align}
&\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\
&\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+B\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

となります。今回はここまで。次回は右辺の第 $1$ 項の計算をやります。(written by J.Nishigata)


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研究72- 半球面一般コサイン変換の球面ラプラシアン