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まず、積分変換を定義しましょう。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\dfrac{f(x)\langle y,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega
\end{align}

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+$ は $2$ 階微分連続であるとします。この積分変換は射影測度と呼ばれています。$\alpha=1$ の場合、$\omega/\langle x,\nu(x)\rangle$ は曲面 $f(x)x$ 上の体積形式であり、重さ $f(x)$ を掛けた後に $y$ 方向へ射影をとっていると解釈すればイメージし易いでしょう。さて、少しだけ計算すると

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}(\alpha \langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega
\end{align}

ここで

\begin{align}
d(f\omega^y)=((n-1)\langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega
\end{align}

に注意すると

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)&=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}d(f\omega^y)-(n-1-\alpha)\langle x,y\rangle f\omega\\
&=\dfrac{1}{\alpha}\int_{\partial S_y}f\omega^y-\dfrac{n-1-\alpha}{\alpha}\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

と変形できます。この式の形に見覚えはありますか。半球面コサイン変換

\begin{align}
\mathscr{K}_cf(y)=\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

のラプラシアン像は

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}_cf+(n-1)\mathscr{K}_cf=\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

でしたね。これを使うと

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\mathscr{K}_cf(y)+\dfrac{1}{\alpha}\Delta^S\mathscr{K}_cf(y)
\end{align}

と書けます。半球面コサイン変換に関する、ファンク-ヘッケの因子を $m_k$ とおくと、射影測度の係数は

\begin{align}
\dfrac{\alpha+\lambda_k}{\alpha}m_k
\end{align}

これで射影測度の解析は終わりです。今回はヒルベルト変換は関係なかったですね。今回はここまで。ヒルベルト変換と関係なく様々な積分幾何学の具体例を見ていくことに方針を変えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究69- 射影測度

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球面ラプラシアンの冪級数というものは

\begin{align}
A=\sum_{i=0}^m\alpha_i(\Delta^S)^i
\end{align}

を指します。今回は、この作用素の零点を調べます。まず $A$ の特性方程式を定義しましょう。

\begin{align}
E_A=\sum_{i=0}^m\alpha_i\lambda^i
\end{align}

この特性方程式が解 $\lambda=\lambda_j$ をもつと仮定します。$f\in H^j$ に対して

\begin{align}
Af=\sum_{i=0}^m\alpha_i(\lambda_j)^if=E_A(\lambda_j)f=0
\end{align}

すなわち $j$ 次の球面調和関数は $A$ の零点になります。では、逆の命題はどうなるでしょうか。$f$ を $A$ の自明ではない零点としましょう。$f$ を直交分解して

\begin{align}
f=\sum_{i=0}^{\infty}f_i,\ f_i\in H^i
\end{align}

としておきます。

\begin{align}
Af=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^{\infty}\alpha_i(\lambda_j)^if_j=\sum_{j=0}^{\infty}E_A(\lambda_j)f_j
\end{align}

ですので任意の $j$ に対して $E_A(\lambda_j)f_j=0$ が成立します。$f$ は恒等的に零ではないので、或る $j_0$ が存在して $E_A(\lambda_{j_0})=0$ が成立します。


以上の命題をまとめると、「$A$ が自明ではない零点をもつことと、$E_A$ が解 $\lambda_j$ をもつことは同値である」となります。


なお、この命題は偶奇に分けても成立します。ここで偶奇と言っているのは

\begin{align}
&f(x)=f(-x)\Longleftrightarrow f:\ \text{even function},\\
&f(x)=-f(-x)\Longleftrightarrow f:\ \text{odd function}
\end{align}

という意味で、例えば「$A$ が自明ではない偶関数の零点をもつことと、$E_A$ が偶数次の解 $\lambda_j$ をもつことは同値」が言えます。今回はここまで。次回は半球面一般コサイン変換のラプラシアンを計算していきましょう。(written by J.Nishigata)


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研究70- ルジャンドル作用素の冪級数による多項式型積分核の表現