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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回は $th(t)$ が狭義単調減少の場合の証明をやりました。今回は $th(t)$ が狭義単調増加の場合を考えます。

\begin{align}
(\alpha Wf(x_0))^2=(\alpha Wg(x_0))^2\ge \{\alpha g(x_0)(hg)(x_0)\}^2 > \{\alpha f(x_0)(hf)(x_0)\}^2
\end{align}

より、今回は

\begin{align}
-(\partial_xf(x_0))^2+\|\nabla f(x_0)\|^2 > 0
\end{align}

が成立します。

\begin{align}
x(0)=x_0,\ \partial x=(\partial_xf)x-\nabla f
\end{align}

の解を $x=x_2(t)$ とします。証明は $x_1$ のときと同じなので省略しますが、結果だけ書くと


i). $\partial x_2\neq 0$ であり

\begin{align}
l_2(t)=\int_0^t\|\partial x_2\|\,dt
\end{align}

の逆関数 $l_2^{-1}$ が一意的に存在して、その導関数は

\begin{align}
\partial l_2^{-1}=\dfrac{1}{\|\partial x_2\|}
\end{align}

ii). $x_2\in S^{n-1}$
iii). $\partial (fx_2l_2^{-1})=-\|\partial x_2\|$
iv). 不等式

\begin{align}
&-\partial_{x_2}f(x_2)^2+\|\nabla f(x_2)\|^2=\partial (fx_2l_2^{-1})^2,\\
&-\partial_{x_2}g(x_2)^2+\|\nabla g(x_2)\|^2\ge \partial (gx_2l_2^{-1})^2
\end{align}

が成立する。


今回も前回と同様に

\begin{align}
&F=(fx_2l_2^{-1}),\ G=(gx_2l_2^{-1}),\\
&H=(hF)^2\{(\alpha F)^2+\partial F^2\}-(hG)^2\{(\alpha G)^2+\partial G^2\}
\end{align}

とおいて議論を進めます。まず、$H$ を下から評価して

\begin{align}
H\ge (\alpha Wf)^2-(\alpha Wg)^2=0
\end{align}

一方、上からは $F < G$ ならば

\begin{align}
H &< ((hF)\partial F)^2-((hG)\partial G)^2\\
&=\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\bigg\{\bigg(\dfrac{F(hF)}{G(hG)}G\partial F\bigg)^2-(F\partial G)^2\bigg\}\\
&\le\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\{(G\partial F)^2-(F\partial G)^2\}
\end{align}

これら上下からの評価を合わせて $|G\partial F| > |F\partial G|$ が得られます。ここで $\partial F < 0$ だったので $-G\partial F+F\partial G > 0$ が成立します。したがって $F < G$ ならば

\begin{align}
\partial(G/F)=\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2} > 0
\end{align}

$F(0) < G(0)$ より $G(s)/F(s)$ は $s \ge 0$ で狭義単調増加となります。ここでもう一度 $H$ の評価を見直しましょう。


$f\big|S^{n-1}$ の最小値を $m$ 最大値を $M$、$g\big|S^{n-1}$ の最小値を $\tilde{m}$ 最大値を $\tilde{M}$ とします。また、$c=G(0)/F(0)$ とおくと $G/F \ge c$ が成立します。これに注意して

\begin{align}
H&=(\alpha F(hF))^2-(\alpha G(hG))^2+((hF)\partial F)^2-((hG)\partial G)^2\\
&\le \alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}+\bigg(\dfrac{(hG)}{F}\bigg)^2\{(G\partial F)^2-(F\partial G)^2\}\\
&\le\alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}+(hG)^2(-G\partial F-F\partial G)\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}\\
&\le\alpha^2mh(m)\sup_{m < t < M}\{th(t)-cth(ct)\}-2\sup_{\tilde{m} < t < \tilde{M}}th(t)^2\partial F\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}
\end{align}

したがって、或る $M_0 > 0$ が存在して

\begin{align}
\dfrac{F\partial G-G\partial F}{F^2}\ge -M_0\dfrac{1}{\partial F}
\end{align}

という評価が得られます。この式を $0$ から $l_2(\infty)$ まで積分すると、右辺は $\infty$ に発散するため $G/F$ も発散してしまいます。$f\big|S^{n-1},g\big|S^{n-1}$ の最大値最小値に注意すると $G/F$ は上から $\tilde{M}/m$ で抑えられなければならないため、矛盾が生じますね。


背理法より $f(x_0) < g(x_0)$ という前提がダメでした。逆向きの大小関係を仮定しても同様に矛盾します。したがって球面上では $f=g$ でなければなりません。


以上で、$W$ の単射性が得られました。話を元に戻すと、ウィンターニッツ変換は単射であると言えます。ちなみに $th(t)$ の条件である「狭義」を「広義」に変更してしまうとウィンターニッツ変換は単射ではなくなってしまいます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究67- ウィンターニッツ変換その３

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  }
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まず、積分変換を定義しましょう。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\dfrac{f(x)\langle y,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega
\end{align}

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+$ は $2$ 階微分連続であるとします。この積分変換は射影測度と呼ばれています。$\alpha=1$ の場合、$\omega/\langle x,\nu(x)\rangle$ は曲面 $f(x)x$ 上の体積形式であり、重さ $f(x)$ を掛けた後に $y$ 方向へ射影をとっていると解釈すればイメージし易いでしょう。さて、少しだけ計算すると

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}(\alpha \langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega
\end{align}

ここで

\begin{align}
d(f\omega^y)=((n-1)\langle x,y\rangle f+\langle x,y\rangle\partial_xf-\partial_yf)\omega
\end{align}

に注意すると

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)&=\dfrac{1}{\alpha}\int_{S_y}d(f\omega^y)-(n-1-\alpha)\langle x,y\rangle f\omega\\
&=\dfrac{1}{\alpha}\int_{\partial S_y}f\omega^y-\dfrac{n-1-\alpha}{\alpha}\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

と変形できます。この式の形に見覚えはありますか。半球面コサイン変換

\begin{align}
\mathscr{K}_cf(y)=\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

のラプラシアン像は

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}_cf+(n-1)\mathscr{K}_cf=\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

でしたね。これを使うと

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\mathscr{K}_cf(y)+\dfrac{1}{\alpha}\Delta^S\mathscr{K}_cf(y)
\end{align}

と書けます。半球面コサイン変換に関する、ファンク-ヘッケの因子を $m_k$ とおくと、射影測度の係数は

\begin{align}
\dfrac{\alpha+\lambda_k}{\alpha}m_k
\end{align}

これで射影測度の解析は終わりです。今回はヒルベルト変換は関係なかったですね。今回はここまで。ヒルベルト変換と関係なく様々な積分幾何学の具体例を見ていくことに方針を変えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究68- 動径関数の単位法線ベクトル場