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  }
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前回は X-線変換をやりましたが、今回やるラドン変換は X-線変換の次元を拡張したものになっています。$\mathbb{R}^n$ 上の $n-m$ 次元平面を

\begin{align}
\Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\cdots=x^m=0\}
\end{align}

とおき、$n-m$ 次元平面全体を、剛体運動群 $G$ の元 $g$ を用いて $\{g\Omega\}$ と書いておきます。$g\Omega$ 上での $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ の積分

\begin{align}
\mathscr{R}f(g)=\int_{\Omega}f(gx)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n
\end{align}

をラドン変換を呼びます。今回は、ラドン変換の反転公式を考えましょう。


平面 $\Omega$ 上の単位ベクトル $p$ と $\Omega$ の直交空間上の単位ベクトル $q$ に対して、$p$ から $q$ 方向へ回転させる($p,q$ 成分だけが回転する)回転微分を $\partial_{pq}$ と書くことにします。

\begin{align}
\partial_q(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)&=\int_{\Omega}\partial_q(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n\\
&=\int_{\Omega}\dfrac{1}{\langle p,x\rangle}\partial_{pq}(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n
\end{align}

ここで積分領域を $\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}$ と $s$ 方向へ分離すると

\begin{align}
\partial_q(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{s}\bigg\{\int_{\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}}\partial_{pq}(g^{-1}f)\xi^p\bigg\}\,ds
\end{align}

のようにヒルベルト変換が登場します。ここに

\begin{align}
\xi^p=\sum_{i=m+1}^n (-1)^{i-m-1}p^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

は $\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}$ の体積形式です。後は今までと同様にヒルベルト像に関して解き、逆ヒルベルト変換を実行することによって

\begin{align}
\int_{\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}}g^{-1}f\xi^p
\end{align}

を求めることができます。この式は、次元落ちしたラドン変換ですね。以上の操作を繰り返すことにより次元は降下していき、最終的には零次元の積分値 $f$ が計算できます。今回はここまで。次回も応用例です。(written by J.Nishigata)


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研究56- ラドン変換

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簡単な積分変換に対してファンク-ヘッケの因子 $m_k$ を計算してみます。今回扱う積分変換は

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}f\omega
\end{align}

$S_y$ は $y\in S^{n-1}$ を頂点とする $n-1$ 次元半球面です。この積分変換はファンク変換と呼ばれています。では早速 $m_k$ を計算してみましょう。


まず、式を簡単にするために、ロドリゲスの公式で表されるルジャンドル多項式を

\begin{align}
&P_{k,n}=A_{k,n}(1-t^2)^{-(n-3)/2}\partial^k(1-t^2)^{k+(n-3)/2},\\
&A_{k,n}=\dfrac{\Gamma((n-1)/2)}{(-1)^k2^k\Gamma(k+(n-1)/2)}
\end{align}

と書いておきます。

\begin{align}
m_k&=\sigma_{n-2}\int_0^1(1-t^2)^{(n-3)/2}P_{k,n}\,dt\\
&=\sigma_{n-2}A_{k,n}\int_0^1\partial^k(1-t^2)^{k+(n-3)/2}\,dt
\end{align}

$k=0$ のときは

\begin{align}
m_0&=\sigma_{n-2}A_{0,n}\int_0^1(1-t^2)^{(n-3)/2}\,dt\\
&=\sigma_{n-2}A_{0,n}\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta
\end{align}

この定積分の項は $n=2$ のときは

\begin{align}
\int_0^{\pi/2}d\theta=\dfrac{\pi}{2}
\end{align}

$n=3$ のときは

\begin{align}
\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta]_0^{\pi/2}=1
\end{align}

$n\ge 4$ のときは

\begin{align}
\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta&=(n-3)\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^{n-4}\theta\,d\theta\\
&=(n-3)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-4}\theta\,d\theta-(n-3)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta
\end{align}

すなわち

\begin{align}
\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta&=(n-3)\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^{n-4}\theta\,d\theta\\
&=\dfrac{n-3}{n-2}\int_0^{\pi/2}\cos^{n-4}\theta\,d\theta
\end{align}

という等比数列になっています。この数列を解くと

\begin{align}
\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta=\dfrac{\Gamma(1/2)\Gamma((n-1)/2)}{2\Gamma(n/2)}
\end{align}

以上より

\begin{align}
m_0=\sigma_{n-2}A_{0,n}\dfrac{\Gamma(1/2)\Gamma((n-1)/2)}{2\Gamma(n/2)}
\end{align}

$k\ge 1$ のときは

\begin{align}
m_k&=\sigma_{n-2}A_{k,n}[\partial^{k-1}(1-t^2)^{k-1+(n-1)/2}]_0^1\\
&=\sigma_{n-2}A_{k,n}[(1-t^2)^{(n-1)/2}(1-t^2)^{-(n-1)/2}\partial^{k-1}(1-t^2)^{k-1+(n-1)/2}]_0^1\\
&=\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-1,n+2}}[(1-t^2)^{(n-1)/2}P_{k-1,n+2}]_0^1\\
&=-\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-1,n+2}}P_{k-1,n+2}(0)
\end{align}

以上ですべての因子 $m_k$ が求まりました。$m_k\neq 0$ なる $k$ に対して $H^k$ が張る関数空間上でのみ反転公式は存在するので、最後に $m_k\neq 0$ を解く必要があります。


奇数次のルジャンドル多項式の原点での値は零なので $2$ 以上の偶数 $k$ に対しては $m_k=0$ となります。一方、偶数次のルジャンドル多項式の原点での値は消えないので奇数 $k$ に対しては $m_k\neq 0$ です。$m_0\neq 0$ は明らかですね。


今回はここまで。次回はファンク変換の反転公式をヒルベルト変換の応用という立場で考えていきましょう。(written by J.Nishigata)


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研究57- ロドリゲスの公式