MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回に引き続き、円周の族の話をします。前回は立体的な族でしたが、今回は平面的な族を考えます。

\begin{align}
&\chi^1(t,u,v)(s)=(1+v)\cos(u-t+s)+\cos t-(1-v)\cos u,\\
&\chi^2(t,u,v)(s)=(1+v)\sin(u-t+s)+\sin t-(1-v)\sin u
\end{align}

i)ii) は明らかに成立しますね。$v=0,s=t$ を代入すると

\begin{align}
&\chi^1(t,u,0)(t)=\cos u+\cos t-\cos u=\cos t,\\
&\chi^2(t,u,0)(t)=\sin u+\sin t-\sin u=\sin t
\end{align}

これは $u$ に関して不動点であり iii) も確認できます。次に導関数を計算すると

\begin{align}
\partial_u\chi(t,u,0)(s)&=(-\sin(u-t+s)+\sin u,\cos(u-t+s)-\cos u)\\
&=(-\sin(s-t)\cos u-\cos(s-t)\sin u+\sin u,\cos(s-t)\cos u-\sin(s-t)\sin u-\cos u)
\end{align}

第 $1$ 成分は

\begin{align}
&-\sin(s-t)\cos u-\cos(s-t)\sin u+\sin u\\
&=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{1+\cos(s-t)\}\cos u+\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\sin(s-t)\sin u\\
&=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{\cos(u-t+s)+\cos u\}
\end{align}

第 $2$ 成分も同様に計算して

\begin{align}
\cos(s-t)\cos u-\sin(s-t)\sin u-\cos u=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{\sin(u-t+s)+\sin u\}
\end{align}

したがって共通因子を前に出すと

\begin{align}
\partial_u\chi(t,u,0)(s)=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}(\cos(u-t+s)+\cos u,\sin(u-t+s)+\sin u)
\end{align}

と書くことができます。一方 $v$ に関する導関数は

\begin{align}
\partial_v\chi(t,u,0)(s)=(\cos(u-t+s)+\cos u,\sin(u-t+s)+\sin u)
\end{align}

ですので

\begin{align}
\gamma=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}
\end{align}

が見つかります。$1/\gamma$ は以前説明した円周上のヒルベルト変換を組み合わせたものですね。iv)v) も OK です。最後に $u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば

\begin{align}
C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0
\end{align}

が得られます。今回はここまで。計 $3$ 回に分けて具体的な曲線の族を考えました。次回は、いよいよデコンボリューションに応用したいと思います。(written by J.Nishigata)


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研究48- ヒルベルト変換の応用例その３

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、前回の式を復習しましょう。

\begin{align}
4\pi^2f(re(\tau)+z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z)
\end{align}

この式で $z=z-re(\tau)$ を代入すると

\begin{align}
4\pi^2f(z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z-re(\tau))
\end{align}

という式になります。この式で何を言いたいのかというと、左辺には $\tau$ が含まれない一方、右辺には含まれるということです。すなわち、右辺は $\tau$ に依存せず $4\pi^2f(z)$ に等しくなります。


以前、充分遠くで消える関数の超解像でもやりましたが、その他ラプラシアンを考えるとき等でも、回転に依存しないという式は度々現れます。


回転に依存しないという性質は、理論に限定した話ですので、実験値で利用する場合には特定の角度を選択するのではなく角度に関する積分平均をとる方がノイズ面で高性能です。今の場合は

\begin{align}
8\pi^3f(z)=\int_0^{2\pi}\bigg\{\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta\bigg\}\,d\tau+2\pi\int_0^{2\pi}\psi(r,z-re(\tau))\,d\tau
\end{align}

とするとノイズに強くなります。今回はここまで。次回はフィルタサイズの話をします。(written by J.Nishigata)


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研究49- デコンボリューション後半