MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






次のような直線の族を考えます。

\begin{align}
\chi(t,u,v)(s)=(s-t)(\sin u,-\cos u)+v(\cos u,\sin u)+(x_0,y_0)
\end{align}

前回の条件 i)ii)iii) は明らかに成立します。導関数を計算すると

\begin{align}
&\partial_u\chi(t,u,0)(s)=(s-t)(\cos u,\sin u)\\
&\partial_v\chi(t,u,0)(s)=(\cos u,\sin u)
\end{align}

となるので $\gamma=s-t$。これで iv)v) も確認できました。後は $u_1,u_2$ も決めておきたいですね。$u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば $s > 0,s < 0$ の積分が相殺して

\begin{align}
C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0
\end{align}

となります。今回はここまで。次回も具体例をやりましょう。(written by J.Nishigata)


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研究46- ヒルベルト変換の応用例その１

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回に引き続き、円周の族の話をします。前回は立体的な族でしたが、今回は平面的な族を考えます。

\begin{align}
&\chi^1(t,u,v)(s)=(1+v)\cos(u-t+s)+\cos t-(1-v)\cos u,\\
&\chi^2(t,u,v)(s)=(1+v)\sin(u-t+s)+\sin t-(1-v)\sin u
\end{align}

i)ii) は明らかに成立しますね。$v=0,s=t$ を代入すると

\begin{align}
&\chi^1(t,u,0)(t)=\cos u+\cos t-\cos u=\cos t,\\
&\chi^2(t,u,0)(t)=\sin u+\sin t-\sin u=\sin t
\end{align}

これは $u$ に関して不動点であり iii) も確認できます。次に導関数を計算すると

\begin{align}
\partial_u\chi(t,u,0)(s)&=(-\sin(u-t+s)+\sin u,\cos(u-t+s)-\cos u)\\
&=(-\sin(s-t)\cos u-\cos(s-t)\sin u+\sin u,\cos(s-t)\cos u-\sin(s-t)\sin u-\cos u)
\end{align}

第 $1$ 成分は

\begin{align}
&-\sin(s-t)\cos u-\cos(s-t)\sin u+\sin u\\
&=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{1+\cos(s-t)\}\cos u+\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\sin(s-t)\sin u\\
&=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{\cos(u-t+s)+\cos u\}
\end{align}

第 $2$ 成分も同様に計算して

\begin{align}
\cos(s-t)\cos u-\sin(s-t)\sin u-\cos u=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}\{\sin(u-t+s)+\sin u\}
\end{align}

したがって共通因子を前に出すと

\begin{align}
\partial_u\chi(t,u,0)(s)=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}(\cos(u-t+s)+\cos u,\sin(u-t+s)+\sin u)
\end{align}

と書くことができます。一方 $v$ に関する導関数は

\begin{align}
\partial_v\chi(t,u,0)(s)=(\cos(u-t+s)+\cos u,\sin(u-t+s)+\sin u)
\end{align}

ですので

\begin{align}
\gamma=-\dfrac{\sin(s-t)}{1+\cos(s-t)}
\end{align}

が見つかります。$1/\gamma$ は以前説明した円周上のヒルベルト変換を組み合わせたものですね。iv)v) も OK です。最後に $u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば

\begin{align}
C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0
\end{align}

が得られます。今回はここまで。計 $3$ 回に分けて具体的な曲線の族を考えました。次回は、いよいよデコンボリューションに応用したいと思います。(written by J.Nishigata)


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研究47- ヒルベルト変換の応用例その２