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前回は積分核が $\cos x/\sin x$ の場合の拡張をやりました。今回は $1/\sin x$ のヒルベルト変換の拡張をやります。


i). $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). $\kappa(x,y)\sin(x-y)\ge 1$ が成立する。
iii). 任意の $a$ に対して連続な有界関数 $\eta:(a,a+\pi)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $x,y_1,y_2\in(a,a+\pi),y_1 < y_2$ のとき

\begin{align}
-\eta(y_1)\{1+\sin(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}\sin(x-y_2)+\eta(y_2)\{1+\sin(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}\sin(x-y_1)\ge 0
\end{align}

iv). $\kappa$ は半周期性 $\kappa(x,y)=-\kappa(x+\pi,y)=-\kappa(x,y+\pi)$ をもつ。


このような $\kappa$ に対して

\begin{align}
K(x,y)=\dfrac{1}{\sin(x-y)}+\kappa(x,y)
\end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}K(x,y)f(x)\,dx
\end{align}

を円周上の拡張ヒルベルト変換とします。許容関数は半周期 $\pi$ の微分連続関数としておくと良いでしょう。このように関数を制限しておけば、この拡張ヒルベルト変換は単射になります。今回はここまで。これで一旦ヒルベルト変換の話は終了します。次回はヒルベルト変換と積分幾何学の関連性について説明します。(written by J.Nishigata)


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研究44- 円周上のヒルベルト変換の拡張その２

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次のような直線の族を考えます。

\begin{align}
\chi(t,u,v)(s)=(s-t)(\sin u,-\cos u)+v(\cos u,\sin u)+(x_0,y_0)
\end{align}

前回の条件 i)ii)iii) は明らかに成立します。導関数を計算すると

\begin{align}
&\partial_u\chi(t,u,0)(s)=(s-t)(\cos u,\sin u)\\
&\partial_v\chi(t,u,0)(s)=(\cos u,\sin u)
\end{align}

となるので $\gamma=s-t$。これで iv)v) も確認できました。後は $u_1,u_2$ も決めておきたいですね。$u_1=0,u_2=2\pi$ とすれば $s > 0,s < 0$ の積分が相殺して

\begin{align}
C=\int_0^{2\pi}\mathscr{H}f(t,u)\,du=0
\end{align}

となります。今回はここまで。次回も具体例をやりましょう。(written by J.Nishigata)


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研究45- 曲線上の積分とヒルベルト変換