MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回、$\mathbb{R}$ 全体で定義された拡張ヒルベルト変換のカーネル空間は高々 $1$ 次元であることが分かりました。


実は復習してみれば分かる通り、有界区間や半直線で得られた拡張ヒルベルト変換の単射性は、$\kappa$ の有界性を仮定しなければ成立せず、逆にこの条件を除外してしまうと、前回と同じようなカーネル空間は高々 $1$ 次元であるという問題が生じます。(自明ではない零点は半定値関数であることも成り立ちます。)


カーネル空間分の不定性はどのように解消すれば良いでしょうか。単純に

\begin{align}
I_f=\int_a^bf\,dx
\end{align}

を追加すればよいでしょう。$f\mapsto\{\mathscr{H}f,I_f\}$ は単射になるわけです。拡張ヒルベルト変換を使う場合は、単射となるように $I_f$ とセットで登場することが多いです。覚えておきましょう。


今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換の話をやります。(written by J.Nishigata)


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研究39- 拡張ヒルベルト変換に追加する測度

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回と方針は同じです。今回は積分核が $1/\sin x$ のヒルベルト変換をやります。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{f(x)}{\sin(x-y)}\,dx
\end{align}

前回と同じく $f$ の周期は $2\pi$ です。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{f(x)-f(x+\pi)}{\sin(x-y)}\,dx
\end{align}

より、周期 $\pi$ の関数は消えます。

\begin{align}
\mathscr{H}\Big[\sum c_ne^{inx}\Big]=\mathscr{H}\Big[\sum c_{2n+1}e^{i(2n+1)x}\Big]
\end{align}

したがって残りの半周期 $\pi$ の関数の像だけ計算すれば良いですね。

\begin{align}
\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)&=2\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{e^{i(2n+1)x}}{\sin(x-y)}\,dx\\
&=2e^{i(2n+1)y}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{e^{i(2n-1)x}+2ie^{2inx}\sin x}{\sin x}\,dx
\end{align}

ここで $e^{2inx}$ の積分は $n=0$ のとき

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}dx=\pi
\end{align}

$n\neq 0$ のとき

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{2inx}\,dx=\dfrac{1}{2in}[e^{2inx}]_{-\pi/2}^{\pi/2}=0
\end{align}

したがって得られる漸化式は $a_n=\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)$ とおいて

\begin{align}
&a_0=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy},\\
&a_n=e^{2iy}a_{n-1}\ \text{for }n\neq 0
\end{align}

です。まず、初項を計算すると

\begin{align}
a_0=2e^{iy}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\cos x+i\sin x}{\sin x}\,dx=2\pi ie^{iy}
\end{align}

これを用いて

\begin{align}
2\pi ie^{iy}=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy}
\end{align}

整理すると

\begin{align}
a_{-1}=-2\pi ie^{-iy}
\end{align}

これら以外は等比数列の漸化式を解くだけですので、簡単に求まりますね。

\begin{align}
\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)=\mathrm{sgn}(2n+1)2\pi ie^{i(2n+1)y}
\end{align}

今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換で単射となる変換を作ります。(written by J.Nishigata)


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研究40- 円周上のヒルベルト変換その１