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  }
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前回は $c_0P_0+c_1P_1+P_2$ により動径微分を近似しました。今回は近似に用いるパラメタの数を $2$ 個から $3$ 個へ増やしてみます。


$c_0P_0+c_1P_1+c_2P_2+P_5$ を書きます。

\begin{align}
\{c_0+c_1(r^2\Delta)+c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=\langle c_0+c_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-c_2(X\partial)+(X\partial)^2\rangle_k
\end{align}

これをコーシーの不等式で評価して最小二乗法により小さく見積もります。以上によりパラメタを増やした近似ができます。ただし、近似される関数は $(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$ ではなく $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という塊ですので注意してください。


前回と同様に

\begin{align}
\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=-\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

と仮定して話を進めます。まずは $P_0,\dots,P_7$ の中で動径微分を使っている個所を $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という形に変形していきましょう。

\begin{align}
&P_{11}:c_2P_2+P_5,\\
&P_{12}:c_2P_4+P_6,\\
&P_{13}:(c_0-c_2^2)P_2+c_1P_4+P_7
\end{align}

環状項が出てくる式を連立させて $\psi,\partial_r\psi$ を分離します。

\begin{align}
&P_{14}:P_3-P_{12},\\
&P_{15}:(c_1+1)\mu_2P_3+(\mu_2+\mu_3)P_{13}
\end{align}

この $2$ 式を用いて、環状項が消えない式から環状項を消去して剰余項を生成します。例えば

\begin{align}
P_{16}:(c_2-2)P_{13}+(c_1+1)P_{14}
\end{align}

今まで何度もやっている通り剰余項の級数を作って $\psi,\partial_r\psi$ を近似すれば目的が達成できます。


今回はここまで。デコンボリューション前半の話は終わりにして、次回からは後半の話題、すなわち $\psi\mapsto f$ をやっていきたいと思います。まずは準備としてヒルベルト変換の話をしましょう。(written by J.Nishigata)


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研究25- 動径微分の近似精度改善

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ヒルベルト変換の積分核は $1/(x-y)$ です。(便宜上 $-1$ 倍しています。)この積分核を変形させることによって拡張を考えていきましょう。


$1/(x-y)+\kappa(x,y)$ としてみましょう。$\kappa(x,y)$ が $x-y$ の関数ならばスペクトルを考えることにより容易に性質が分かってしまい、余り面白くありませんね。一般的には $1/(x-y)+\kappa(x,y)$ という積分核の積分変換には畳込み定理は使えないので、実空間で拡張の方向性を考えなければなりません。


そこで、まずは実空間でのヒルベルト変換の特徴から調べることにしましょう。$f$ が唯一の符号をスイッチさせる零点 $x_1$ をもつ場合

\begin{align}
\mathscr{H}f(x_1)=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(x)}{x-x_1}\,dx\neq 0
\end{align}

は明らかですね。したがって、この関数 $f$ はヒルベルト変換の零点にはなりません。続いて、$f$ の符号をスイッチさせる零点が異なる $2$ 点 $x_1 < x_2$ のみである場合

\begin{align}
\mathscr{H}f(x_1)-\mathscr{H}f(x_2)=\int_{\mathbb{R}}\bigg(\dfrac{1}{x-x_1}-\dfrac{1}{x-x_2}\bigg)f(x)\,dx
\end{align}

はどのようになるでしょうか。

\begin{align}
\dfrac{1}{x-x_1}-\dfrac{1}{x-x_2}=\dfrac{x_1-x_2}{(x-x_1)(x-x_2)}
\end{align}

は $x < x_1,x > x_2$ で負、$x_1 < x < x_2$ で正になります。したがって

\begin{align}
\bigg(\dfrac{1}{x-x_1}-\dfrac{1}{x-x_2}\bigg)f(x)
\end{align}

は定符号関数となり $\mathscr{H}f(x_1)-\mathscr{H}f(x_2)\neq 0$ が得られます。このときも $f$ はヒルベルト変換の零点ではないことが分かりました。


ここで特徴的な性質は $1/(x-x_1)-1/(x-x_2)$ という関数が $x=x_1,x_2$ でのみ符号をスイッチさせるということです。これを $\kappa$ にも反映させてみましょう。任意の $y_1 < y_2$ に対して

\begin{align}
-\{1+(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}(x-y_2)+\{1+(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}(x-y_1)\ge 0
\end{align}

こんなことを色々とやっていると、試行錯誤の結果、次のような拡張を考えることになります。


i). $a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\},b\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ とする。$\kappa:(a,b)^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). $c_0$ が存在して $-1\le (x-y)\kappa(x,y)\le c_0$ が成立する。
iii). 連続な有界関数 $\eta:(a,b)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $y_1 < y_2$ のとき

\begin{align}
-\eta(y_1)\{1+(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}(x-y_2)+\eta(y_2)\{1+(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}(x-y_1)\ge 0
\end{align}

このような $\kappa$ に対して

\begin{align}
K(x,y)=\dfrac{1}{x-y}+\kappa(x,y)
\end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align}
\mathrm{pv.}\int_a^bK(x,y)f(x)\,dx
\end{align}

をヒルベルト変換の拡張と考えることにしましょう。今回はここまで。次回は積分核の性質を調べていきます。(written by J.Nishigata)


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研究26- ヒルベルト変換