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  },
  tex: {
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  }
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具体的な場合での剰余項から調べていきましょう。最も簡単な PSF は円板定義関数ですね。このときの畳込みの導関数は

\begin{align}
&r^2\Delta\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi(r,y),\\
&(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=\psi(r,y)
\end{align}

です。剰余項が消えてくれるので $g$ から $\psi,\partial_r\psi$ は容易に計算できます。他の PSF ではどのようになるでしょうか。円板定義関数の場合のように簡単に解決できるパターンを見つけてみましょう。


$(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$ の剰余項が消えるための条件は $X\partial k(X)=0$ すなわち $k$ が台上で定数値関数となる場合のみです。では、剰余項が消えない場合、どのような形になれば良さそうでしょうか。

\begin{align}
X\partial k(X)=c_0
\end{align}

という定数になれば剰余項は $-\langle X\partial\rangle_k=-c_0\langle 1\rangle_k$ となり都合が良いです。上の微分方程式を解くと

\begin{align}
k(X)=c_0\log X+c_1
\end{align}

このとき $r^2\Delta\langle 1\rangle_k$ の剰余項は零となり

\begin{align}
&r^2\Delta\langle 1\rangle_k=c_1r\partial_r\psi(r,y)-c_0\psi(r,y),\\
&(c_0+2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=c_1\psi(r,y)
\end{align}

という連立方程式が得られます。$c_1\neq 0$ ならば解けますね。機械的に PSF を求めましたが、このロジックには $k(+0)$ が発散する問題点が含まれたままです。$\log X$ の速さで発散する関数は $X$ を掛けることで抑え込むことができます。したがって、畳込みは存在し、$r^2\Delta\langle 1\rangle_k,(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$ を計算する際に登場した部分積分も $k(+0)$ が係る項は消えてくれます。


今回は非常に特殊な場合を考えましたが、一般的には剰余項は消えません。次回は剰余項が消えない具体例としてガウシアンを適当な閾値で FIR 化した PSF の話をします。(written by J.Nishigata)


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研究14- PSF が円板定義関数のときの剰余項

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  }
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前回の具体例で分かる通り、剰余項の線型結合で零近似を作れば良いことが推察できます。今回は $a\langle 1\rangle_k=\langle b\rangle_k$ のように剰余項 $\langle b\rangle_k$ を生成する演算子 $a$ の話をします。


演算子 $1$ は自明なので、集合 $G=\{1\}$ からスタートしましょう。集合 $G$ から勝手に演算子 $a$ をとってきて

\begin{align}
a\langle 1\rangle_k=\langle b\rangle_k
\end{align}

を作ります。この方程式を微分します。

\begin{align}
&r^2\Delta a\langle 1\rangle_k=rbk(1)\partial_r\psi-\partial bk(1)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)b\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)a\langle 1\rangle_k=bk(1)\psi-\langle X\partial b\rangle_k
\end{align}

ここで $bk(1)=\partial bk(1)=0$ ならば $\psi,\partial_r\psi$ の項(これを環状項と呼びます)は消えて

\begin{align}
&r^2\Delta a\langle 1\rangle_k=\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)b\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)a\langle 1\rangle_k=-\langle X\partial b\rangle_k
\end{align}

という今期待している式が得られます。集合 $G$ に $r^2\Delta a,(2+r\partial_r)a$ を追加しましょう。この手法を繰り返して $G$ をできるだけ大きくしておきます。


$G$ から勝手に $a$ をとってきて $a\langle 1\rangle_k=\langle b\rangle_k$ を作ったとき、$bk(1),\partial bk(1)$ の値で場合分けをしましょう。


i). $bk(1)\neq 0$ なる $a$ が存在する場合
ii). $bk(1)=0,\partial bk(1)\neq 0$ なる $a$ が存在する場合
iii). $(bk(1),\partial bk(1))\neq (0,0)$ なる $a$ が存在しない場合


今回はここまで。次回は i) から順に考えていきます。(written by J.Nishigata)


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研究15- PSF がガウシアンのときの剰余項