MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回 $\partial h$ を計算しました。しかし、$t\ge 0$ 全体で $\partial h(t)$ が計算できることは保証されていません。今回は、この計算できる定義域を広げようと思います。


まず、$h(A(t))-h(t)$ に注意しましょう。$t$ に関する微分を考えれば、$\partial h(A(t))$ が求まっていれば $\partial h(t)$ も計算できますね。帰納的に $t\ge 1/2$ の定義域で $\partial h(t)$ は計算できます。

\begin{align}
h(t)-h(1/2)=\int_{1/2}^t\partial h\,dt
\end{align}

という差も $t\ge 1/2$ の領域で計算できます。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&=\partial_r\psi(r-1/2,y)+\dfrac{r+1/2}{\|r+1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1\|,y)-\partial_r\psi(r+1/2,y)-\dfrac{r-1/2}{\|r-1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1\|,y)\\
&=(r-1/2)h(r-1/2)+(r+1/2)h(\|r+1/2,1\|)-(r+1/2)h(r+1/2)-(r-1/2)h(\|r-1/2,1\|)
\end{align}

この式で $r\ge 1/2$ ならば $\|r+1/2,1\|,r+1/2,\|r-1/2,1\|$ これらすべては $1/2$ 以上になります。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=(r-1/2)\{h(r-1/2)-h(1/2)\}+(r+1/2)\{h(\|r+1/2,1\|)-h(1/2)\}\\
&\quad -(r+1/2)\{h(r+1/2)-h(1/2)\}-(r-1/2)\{h(\|r-1/2,1\|)-h(1/2)\}
\end{align}

と変形してみましょう。$h(r-1/2)-h(1/2),r\ge 1/2$ も計算できます。したがって $t\ge 0$ 全体で $\partial h$ が求まるわけです。

\begin{align}
h(t)&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+h(\varepsilon)\\
&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}f(\varepsilon e(\theta)+y)\,d\theta\\
&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\{\partial_{e(\theta)}f(y)+\partial_{e(\theta)}^2f(y)\varepsilon+o(\varepsilon)\}\,d\theta\\
&\to \int_0^t\partial h\,dt+\pi\Delta f(y)\ \text{as }\varepsilon\to 0
\end{align}

$\pi\Delta f(y)$ だけ不定性がありますが、$h$ の計算ができました。今回はここまで。次回も続きをやります。(written by J.Nishigata)


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研究7- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その３

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






今考えている PSF は回転対称な FIR フィルタです。最も簡単な例を挙げると、円板定義関数が思いつきます。このときの畳込み像は、円板定義関数で決まるポンペイユ変換による像と解釈することもできます。


畳込みの許容関数に強い条件が課されていればポンペイユ変換は単射となり簡単なのですが、$2$ 階微分連続という条件のみのような弱い条件の場合はポンペイユ順問題の反例のようにポンペイユ変換の自明ではない零点が無限に存在してしまいます。


ポンペイユ変換が単射ではなくなってしまう場合のデコンボリューションは、ポンペイユ変換の零点全体による商空間で議論しなければ意味がありません。


弱い前提条件からは弱い解が得られる、ということですね。前回正方形のポンペイユ変換で確認した通り、前提条件によっては大きく反転公式のロジックが変わってしまう可能性がありますので、厳密に前提条件を定めてから議論を進めるよりも特定の方法を使う上で必要に応じて設定していく方が建設的です。次回は、とりあえず畳込みの微分を計算してみましょう。(written by J.Nishigata)


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研究8- 大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その４