MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






任意の凸体 $K$ の定義関数を $k$ とします。$k$ による畳込み

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^2}k(x)f(y-x)\,dS
\end{align}

で許可されている運動は並進運動です。これを剛体運動まで拡張した

\begin{align}
\mathscr{P}f(g)=\int_{\mathbb{R}^2}(g^{-1}k)(x)f(x)\,dS
\end{align}

はポンペイユ変換と呼ばれています。ここに $g$ は剛体運動群の元です。ポンペイユ変換に関する以下の問いを考えてみましょう。


ポンペイユの順問題: $K$ が円であるならばポンペイユ変換は単射であるだろうか。


円板定義関数のフーリエ像は $J_1(\|\cdot\|)/\|\cdot\|$ であり、原点を中心とする円周状の零点をもちます。この円に対してポンペイユ変換の自明ではない零点が得られる故にポンペイユ変換は単射にはなりません。


ポンペイユの順問題は否定的に解かれました。改めて正しい命題を書いてみると「$K$ が円であるならばポンペイユ変換は単射ではない」となるでしょう。


この真の命題から対偶をとり「ポンペイユ変換が単射であるならば $K$ は円ではない」、さらに逆の命題にしてみましょう。


ポンペイユの逆問題: $K$ が円ではないならばポンペイユ変換は単射であるだろうか。


この問題は約 $100$ 年間ものあいだ未解決のまま残る、非常に有名な問題です。ただし、未解決とはいっても完全に手付かずの未解決というわけではありません。特殊な $K$ や制限された $f$ のクラスに対しては肯定的な結果が得られています。


今回はここまで。次回は特殊な場合として、$K$ が正方形の場合を考えてみましょう。(written by J.Nishigata)


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研究2- ポンペイユの逆問題

MathJax = {
  chtml: {
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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回から引き続き $K$ が正方形の場合を考えていきましょう。今回の関数のクラスは，自乗可積分、絶対可積分、微分連続を満足する場合です。フーリエ変換が使えるわけですね。

\begin{align}
\mathscr{F}[k\ast f]=\mathscr{F}k\mathscr{F}f
\end{align}

$\mathscr{F}k$ で割ってから逆フーリエ変換を実行すれば

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\bigg[\dfrac{\mathscr{F}[k\ast f]}{\mathscr{F}k}\bigg]=f
\end{align}

となりそうですね。逆フーリエ変換の中身の分母が零となってしまう場合には困ってしまいますが、分母 $\mathscr{F}k$ の零点の測度が零であれば、左辺はルベーグ積分として計算できます。


今、$k$ は正方形の定義関数なので、そのフーリエ像は以前計算した通り $\mathrm{sinc}$ 関数の積になります。零点の測度が零であることが確認できますので、上の計算式は正しく計算できます。これで反転公式が導出できましたね。


ただし、$\mathscr{F}k$ の零点に近い所では非常に小さい値で $\mathscr{F}[k\ast f]$ を割らなければなりません。理論上は $\mathscr{F}[k\ast f]$ の値も同様に小さいのですが、実用上ではあらゆる理由により $\mathscr{F}[k\ast f]$ は小さくなってくれないかもしれません。結果として $\mathscr{F}k$ の零点近傍では理論からの誤差が大きく増幅されてしまうリスクがあります。


ポンペイユ変換は畳込みと違い回転運動も許可されています。$R$ を回転行列として $k(Rx)$ のフーリエ像を計算してみましょう。

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^2}k(Rx)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle}\,dS=\int_{\mathbb{R}^2}k(Rx)e^{-2\pi i\langle Rx,Ry\rangle}\,dS=\mathscr{F}k(Ry)
\end{align}

フーリエ像も同様にして回転させればよいことが分かります。零点だった周波数も、回転させれば零点から外すことができます。零点の近傍では、このように回転させて零点を回避してから計算することで、誤差増幅のリスク回避が期待できます。


今回はここまで。次回は $f$ が微分連続な場合を考えます。(written by J.Nishigata)


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研究3- 正方形に対して定義されるポンペイユ変換の反転公式