積分核が $\cos x/\sin x$ のヒルベルト変換の拡張をやります。やり方は数直線上での拡張と同じです。

i). $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). 任意の $a$ に対して連続な有界関数 $\eta:(a,a+\pi)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $x,y_1,y_2\in(a,a+\pi),y_1 < y_2$ のとき

\begin{align} -\eta(y_1)\{\cos(x-y_1)+\sin(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}\sin(x-y_2)+\eta(y_2)\{\cos(x-y_2)+\sin(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}\sin(x-y_1)\ge 0 \end{align}

iii). $\kappa$ は周期性 $\kappa(x,y)=\kappa(x+\pi,y)=\kappa(x,y+\pi)$ をもつ。

このような $\kappa$ に対して

\begin{align} K(x,y)=\dfrac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}+\kappa(x,y) \end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}K(x,y)f(x)\,dx \end{align}

を円周上の拡張ヒルベルト変換とします。許容関数は周期 $\pi$ の微分連続関数としておくと良いでしょう。このように関数を制限しておけば、この拡張ヒルベルト変換のカーネル空間は高々 $1$ 次元となります。今回はここまで。次回はもう一方の円周上のヒルベルト変換を拡張します。(written by J.Nishigata)

研究43- 円周上のヒルベルト変換の拡張その１