前回定義した $K(x,y)$ の級数を考えます。$a < y_1 < \cdots < y_n < b$ に対して

\begin{align} \zeta(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)K(x,y_i) \end{align}

この級数から、例えば $i$ 番目と $j$ 番目だけを取り出してペアを作ると $\kappa$ の定義($3$ つ目の性質)が使えます。式を簡単にするために $[i]=\eta(y_i)K(x,y_i)$ と書くことにしましょう。

$n$ が偶数のとき

\begin{align} \zeta=(-[1]+[2])+\dots+(-[n-1]+[n]) \end{align}

という具合に分けてみます。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以上ですので

\begin{align} \zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0 \end{align}

が成り立ちます。$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアは零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[i]+[i+1]) \end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0 \end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[n-1]+[n])\ge 0 \end{align}

下からの評価ができました。次はペアのとり方を変えて

\begin{align} \zeta=(-[1]+[n])+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-2]-[n-1])\big\} \end{align}

として、区間ごとに評価してみましょう。$a < x < y_1$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le (-[1]+[n]) \end{align}

$y_1 < x < y_2$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le (-[1]+[n])\le 0 \end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $([i]-[i+1])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le ([i]-[i+1]) \end{align}

$i$ が $1$ より大きい奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le ([i-1]-[i])\le 0 \end{align}

$y_n < x < b$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le (-[1]+[n]) \end{align}

上からの評価ができました。以上で $n$ が偶数の場合の級数 $\zeta$ の評価が完成しました。同様にして $n$ が奇数の場合も考えてみましょう。奇数の場合は $2$ 組ペアで分けていったときに必ず $1$ 項余りができます。この余りに関しては $\kappa$ の定義の $2$ つ目の条件 $-1\le(x-y)\kappa(x,y)$ を

\begin{align} K(x,y) \begin{cases} \le 0\ \text{for }x < y,\\ \ge 0\ \text{for }x > y \end{cases} \end{align}

という形で用います。

\begin{align} \zeta=\big\{(-[1]+[2])+\dots+(-[n-2]+[n-1])\big\}-[n] \end{align}

$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0 \end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[i]+[i+1]) \end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align} \zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0 \end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align} \zeta\ge -[n] \end{align}

表現を変えて

\begin{align} \zeta=-[1]+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-1]-[n])\big\} \end{align}

とします。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align} \zeta\le -[1] \end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align} \zeta\le [i+1]-[i+2]\le 0 \end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $[i]-[i+1]$ を除くすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align} \zeta\le [i]-[i+1] \end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align} \zeta\le [n-1]-[n]\le 0 \end{align}

以上で $n$ が奇数の場合も $\zeta$ の評価ができました。これで $\zeta$ の符号(零以上か零以下か)がスイッチする様子も分かりますね。今回はここまで。次回は $\zeta$ の絶対値を評価します。(written by J.Nishigata)

研究28- 積分核の級数の性質