前回から引き続き球面調和関数のちょっとしたことを調べています。今回は回転変換についてです。円周の場合を思い返すと $\sin(x)$ と $\cos(x)$ の線形結合は回転させても同じく線形結合という性質は引き継ぎます。球面の場合はどうなるでしょうか。

調和関数を球面へ制限させてから回転させることと、調和関数を回転させてから球面へ制限させることは等価です。また、回転させた調和関数のラプラシアン像は、相対的に回転させたラプラシアンによる調和関数の像と一致します。

ラプラシアンに回転保存性が成立すれば、$k$ 次の球面調和関数を回転させても同じく $k$ 次の球面調和関数になることが主張できます。

\begin{align} a\partial_1+b\partial_2+c\partial_3\ \text{with }\|a\|=\|b\|=\|c\|=1,\ \langle a,b\rangle=\langle b,c\rangle=\langle c,a\rangle=0 \end{align}

このように回転させてみましょう。このときのラプラシアンは

\begin{align} \langle a\partial_1+b\partial_2+c\partial_3,a\partial_1+b\partial_2+c\partial_3\rangle=\Delta \end{align}

となり保存性が成り立ちます。これで証明できました。$k$ 次球面調和関数という性質は回転に対して普遍です。

今回は簡単ですがここまで。次回は球面調和関数の 2 次対称テンソルを作って性質を調べていきます。(written by J.Nishigata)

フーリエ23- 球面調和関数を回転させたらどうなるだろうか